拟小波方法在梁动力稳定性分析中的应用

    结构的动力稳定性一直受到人们广泛的关注［1 ～5］。解析法［1］和数值方法［2 ～4］已经被成功应用于结构动力稳定性分析中。本文提出了求解梁动力稳定性的拟小波方法［6］，利用该方法计算了两端简支和固支梁的动力失稳区，并讨论了周期性轴向力中恒定项对动力失稳区的影响，与解析解对比验证了采用拟小波法求解梁动力稳定性的可行性和有效性。

    1 振动方程

    当直梁受到周期性轴向力 P_S+ P_Dcos( θt) 作用时，根据欧拉梁理论，忽略转动惯量和剪切效应，其振动方程为^［1］：

其中，E 为杨氏模量，I 为截面惯性矩，m 为单位长度质量，PS+ PDcos( θt) 为周期性轴向力，PS为恒定项，PD和 θ 分别为幅值和激励圆频率，u 为横向位移，t 为时间。

   为了简化，引入以下无量纲量

    两端简支边界条件为:

    2 数值方法和离散式子

    2． 1 拟小波数值方法

    拟小波方法是 Wei［6］等人提出来的一种新型的数值方法，已经被成功应用于科学和工程多领域中［7 ～10］。关于该方法的数学理论和应用，可参考 Wei 等［8 ～10］的文献。根据 Shannom 定理，引进拟尺度函数［7］

其中，Δ 为单元网格大小，σ 为宽度参数，σ ＞0，计算中取 σ = rΔ( r 为任意参数) ，由此生成的小波称为拟小波。对于有限频段函数 f( x) 可由它的“型值”f( xk) 完全确定。假定 supp^f ( x) ［－ π /Δ，π /Δ］，f( x) 可以写成

    由于拟小波具有良好的局域特性，实际计算只需要在网格点 x 附近取 2W 个计算点即可达到计算精度。( 5) 式对空间坐标 x 的 n 阶导数为

    在( 1) 式中需要求空间的二阶和四阶导数，其表达式见文献［8］。

    2． 2 离散式子

    本文利用拟小波数值离散格式( 6) 式离散( 3) 式的空间导数，四阶 Runge – Kutta ( RK4)法离散时间导数。具体如下［7］: 将空间 X 坐标进行均匀等分，单元网格大小记为 ΔX = ( 1 － 0) /N( N 为单元网格总数) 。网格点坐标 Xj( j = 1，2，…，N +1) ，于是 X_j－ X_{j + k}= － kΔX，在网格点 Xj的无量纲位移 U 记为 Uj，则( 3) 式可以写为:

   上标 n 表示时间层，Δτ 是时间步长，τ =nΔτ。利用拟小波离散格式( 6) 式求空间离散导数，则可求得 fnj，1，fnj，2，fnj，3和 fnj，4的值