工程力学中几个重要物理量的关系及其应用

　　引言

　　弯矩、惯性矩、杨氏模量、剪应力、最大剪应力、距离、(杆)梁的半径等概念是研究工程力学中梁受力问题的重要物理量.弯矩与梁所受的外力大小及外力作用在梁上的位置或分布不同而变化，惯性矩与梁的形状与弯曲的轴有关，杨氏模量是与梁的制作材料有关，剪应力可以确定梁上各点因受外力作用使梁产生变形而引起的内力分布情况，最大剪应力可以确应梁所受内力最大的位置，通过对这些物理量的计算我们可以很容易确定梁的粗细及制作需要的材料.在许多工程科学的教材或工程力学的教材中，都提出和分析了弯矩、剪力的关系[1]

　　其中SF为剪力，M为弯矩，但却很少有资料具体地分析弯矩、剪应力、惯性矩、最大剪应力、回转半径及杨氏模量的关系.

　　虽然有的教材也会提到这些量的关系，但却很少系统地分析这些物理量之间关系的由来!假设在轴应力与横截面积A垂直的情况下，我们就这些物理量的定义及之间的关系进行系统的分析及推导，从而使他们的关系更加直观，有利于在一般院校工程科学教学过程中的应用，以及解决工程科学中的力学问题，并结合实际应用例子进一步论述这些物理量的关系及应用.

　　1　定义及关系推导

　　1.1轴应力(正应力)和轴应变(正应变)的定义

　　如图1所示，由于(杆)梁受力F作用，使得其伸长或缩短ΔL，则轴应力σ可定义为

　　其中F为梁所受垂直于横截面A的力，A为其横截面积;而轴应变则可定义为

　　其中ΔL为梁受力后伸长或缩短的量，L为梁在未受力时的原始长度.

　　1.2　剪力和弯矩的定义

　　如图2所示，由于(杆)梁受力负载作用弯曲如图2a，在(杆)梁截面1上由于弯曲使得两邻两面之间产生竖直方向上的拉扯，因此会产生一个力的作用，即为剪力SF，由(杆)梁的平衡条件可求出SF.如图2a，在(杆)梁截面2上也会出水平方向上的拉扯作用，而且由于拉扯作用大小与(杆)梁的中心轴的距离有关，距离越大，拉扯作用越大，同时在z轴两边等距离处形成力偶，这些力偶产生的合力偶矩就是弯矩如图2b和图2c.弯矩定义为

　　其中Fi为截面2如图2c所示各点ri上的力.

　　1.3　惯性矩和杨氏模量的定义

　　如图1，实验表明，轴向拉伸或压缩时，当(杆)梁的横截面上的轴(正)应力不超过某一限度时，(杆)梁的伸长或缩短量与轴力和(杆)梁的原长成正比，与横截面积成反比，即胡克定律表达式如下

　　其中ΔL为伸长或压缩的量，F为作用力，L为(杆)梁的原长，E为杨氏模量，A为横截面积，由(4)式代入(2)式得