混合有限元法在弹性接触问题中的应用

　　定边界弹性接触问题在工程实践中经常遇到,用一种行之有效的数值方法准确地计算出接触区上的应力和位移具有重要的实际意义。

　　国内外学者利用以最小势能原理为基础的位移有限元法研究了各种接触问题。本文采用以Hellinger-Reissner二类变量广义变分原理为基础的混合有限元法,研究了三维定边界有摩擦的弹性接触问题。

　　1　混合有限元法理论

　　1.1　三维弹性问题力学基本方程

　　Ω为物体所占空间。v为在y方向上的给定位移。

　　考虑固支面B1和自由面B2的边界条件,则

　　L,m,n分别为边界外法线方向余弦。

　　1.2　多变量混合变分式

　　由Hellinger-Reissner二类变量广义变分原理得Δ∏1= 0

　　实质上,式(6)与式(1)～(5)是等效的,另外,从力学上看,∏1是物体总势能的推广。以式(6)为基础,可以推出普通的空间弹性物体的混合有限元方程。

　　2　混合有限元法在定边界弹性接触问题中的应用

　　定边界接触是指两物体相接触的边界不随外部载荷变化而变化,与外载无关的接触。图1为一个定边界接触结构,其中A为接触体,B为目标体,而且目标体是静止不动的刚体。此时接触体A的总势能为

　　其中,τti为接触边界上的两个切向应力。

　　τn为接触边界上的法向压应力。

　　Bc为接触边界。

　　由于接触区上的位移和应力之间及非接触区上位移和应力之间都是相互独立的,则由式(6)及泛函驻立值问题的解法得

　　故接触区上的位移要以自然边界条件出现。

　　∏2可表示为

　　放松部分边界约束条件,利用拉格朗日乘数法,由式(6)～(8)得δ∏=0

　　其中,BFD为给定力的边界,BCD为给定位移的边界。

　　同样,以式(10)为基础,即可得出三维定边界有摩擦的弹性接触问题的混合有限元方程。

　　其中,K为接触体的刚度阵;U为节点位移列向量;R为节点应力列向量;P为节点等效载荷列向量。

　　3　接触问题的混合有限元方程求解

　　在形成定边界接触问题的混合有限元方程过程中,作为以自然边界条件出现的接触位移形成了一致性载荷而进入有限元方程的右端。因此,要求由方程求出的接触位移应与形成一致性载荷的接触位移相一致,这样,在求解方程时需要迭代,迭代过程为

　　4　数值示例

　　一个弹性块作用在一个刚性水平基础上,在水平面及侧面作用着集中力P、Q(见图2),用两个8节点等参元离散接触体(见图3),其他具体数值如下。