Stewart机构在刚体6维测量中的精度

中国国家天文台正在推进在贵州省建造500米口径大射电望远镜,称为FAST项目[1 3]。与传统的大射电望远镜相比,FAST的一项重要创新是在馈源接收方面通过增加馈源精调装置实现索驱动无平台方案使造价大大降低。本文中涉及的实验平台是为了研究馈源精调装置的控制而建立的,平台采用了两级Stewart平台结构[4]。本文提出利用Stewart机构,通过测量其6条支链的长度,运用Stewart机构的运动学正解求得刚体6维位姿信息的一种新的测量方法,实现了测量和馈源控制定位的双重功能,简化了测量手段。

1　实验平台及其坐标系建立

文[5]介绍了该平台的设计,图1为实验平台结构。两级Stewart平台结构中,上层由框架(固定平台)、测量元件(拉线式译码器)、运动平台组成测量Stewart平台,通过Stewart平台运动学正解得到运动平台的位姿;下层由运动平台、驱动腿(移动副)、馈源稳定平台组成控制Stewart平台,利用电机驱动改变腿长,以此来调整馈源稳定平台和运动平台之间的相对位姿。平台的控制目标是使运动平台在受到外力激励产生振动时通过调整驱动腿长度使得馈源稳定平台在空间中保持位置和姿态不变。图中A1—A6为测量元件与固定平台铰点,B1—B6为驱动腿与运动平台铰点,C1—C6为驱动腿与馈源稳定平台铰点。在框架上建立系统的绝对坐标系Oa-xayaza,在动平台和馈源稳定平台上分别建立动坐标系Ob-xbybzb和Oc-xcyczc。各坐标系的原点分别与各平台几何中心重合,Oaza、Obzb及Oczc轴分别取A1A6、B1B6和C1C6的垂直方向,Oaza、Obzb及Oczc轴分别垂直于各自平台方向向上,各坐标系的y轴方向根据右手规则确定。

2　测量Stewart平台的精度分析

设Ra、rb、Rb和Rc分别为拉线式译码器与固定平台、拉线式译码器与运动平台、驱动腿与运动平台、驱动腿与馈源稳定平台的外接圆半径,Ai、bi、Bj和Cj分别为各平台上连接点在Oa-xayaza、Ob-xbybzb、Oc-xcyczc坐标系中的坐标向量,动平台B绕坐标系Oa-xayaza的xa、ya和za轴的转角分别为γb、βb和αb,ABR是坐标系Ob-xbybzb到Oa-xayaza旋转变换矩阵。Apbo代表坐标系Ob-xbybzb的原点Ob在坐标系Oa-xayaza中的坐标向量。因此,在坐标系Oa-xayaza中向量bi和Bj的表达式为:

设测量Stewart平台上的拉线式编码器长度为l=(l1l2…l6)T,沿每个支链长度方向上的单位向量为mi,则每个支链在坐标系Oa-xayaza中的长度向量为

Jp为误差由运动平台位姿向拉线式编码器长度传递的Jacobin矩阵,J-1p为误差由拉线式编码器长度向运动平台位姿传递的Jacobin矩阵,其条件数(最大特征值同最小特征值之比)反应了这种误差传递在空间各向的均匀性[6]。条件数大说明误差向各个方向的传递不均匀,导致对运动平台的位置及姿态测量精度差;反之条件数小表明误差向各个方向的传递均匀,对运动平台的位置姿态测量精度好。Js为各支链在两平台上的铰链点位置误差向支链长度误差的传递矩阵,由于铰链位置误差在制造过程中就已经确定,因此这项可看作恒定值。