MEMS器件建模与仿真分析方法研究

　　1　引言

　　系统级建模与仿真是微机电系统设计分析的关键[1~5]。micro-electro-mechanical system(MEMS)器件由于其尺寸的减小,与工作环境具有很强的相互作用,从而造成MEMS的多维性、多学科性及多尺度性。MEMS不仅是一个多场耦合问题,而且大多数MEMS装置都是复杂的三维结构,对这一问题建模并进行仿真具有很大的挑战性。虽然可以用有限元/边界元方法建立宏观模型,并进行系统的动态仿真,但由于自由度过多,以及该方法本身的特点,在计算时间上是不现实的。而且,在实际设计中设计者往往只对几个参数感兴趣,例如结构尺寸、材料特性等。这要求在不显著降低精度的情况下尽量减少系统的自由度,建立系统的宏模型[6~9]。

　　本文基于主振型叠加法和拉格朗日动力学方程,使用解析式来表达系统的动能和势能,利用简化的自然振型描述器件的空间状态,降低系统的自由度

　　2　宏模型

　　2.1　基函数

　　MEMS器件系统状态方程的一般形式如下：

　　其中y(t)表示N维状态矢量(N一般很大),fy(t),u(t)表示非线性函数,u(t)表示p维输入矢量。尽管系统处于一个很复杂的状态中,在不影响精度的情况下,对系统状态进行减缩可以很容易地获得系统动态特性。令

　　其中qi(t)是第i个状态变量,q(t)是减缩小后的m维状态向量(m N),Vi是基本向量,V是正交的基本向量矩阵。利用式(2)将方程(1)降到m维得到下式。

　　如果Vi已知,那么通过上述方程求出q(t)。本文通过线性模态分析计算Vi。

　　虽然通过以上方法降低了状态方程的维数,但是计算非线性函数fy(t)仍需要花大量时间。所以通过对有限元模型进行准静态分析得到一个简单的力的解析表达式,作进一步的简化。

　　2.2　模态坐标

　　线性系统的特征向量方程为

　　其中ω表示系统频率,M表示N×N质量矩阵,K表示N×N刚度矩阵。用φi表示对应于频率ωi的模态振型。每一个模态都包括一个模态质量mi和模态刚度ki。实际上,在有限元模型的基础上进行分析的过程中,还会附加产生一个形状向量yeqm,这是由于内应力存在而使网格模型松弛的缘故。

　　在描述振型时,还可以用另一种等价的数学方法———主振型叠加法来确定网格单元的位置。

　　其中yeqm表示由于内应力存在使松弛后网格单元的平衡位置;qi是标量,无量纲,表示模态振幅;q是N×1的列向量,代表所有模态的振幅;φi是振型;P表示由模态形状列向量组成的N×N模态矩阵。通过式(5)可知,网格单元的位置由y确定,亦即等价于由q确定。这样的话,q成为确定网格位置的可选择的模态坐标。