主动光学技术在薄镜面中的应用及算法研究

    引言

    对于径厚比较大的薄镜面，由于比刚度变小，传统的被动支撑方式已经不能满足要求，因此必须采用主动支撑技术进行实时校正，此为薄镜面主动光学。薄镜面主动光学就是利用薄镜面背后的力驱动器使镜面产生微小弹性变形来补偿镜面由于重力变形、温度梯度产生的变形以及加工安装误差等引起的光学系统的波前误差，这些驱动器所施加的力直接影响校正效果。由于 zernike 多项式与 Seidel 象差之间具有对应关系，因此人们提出了采用 zernike 多项式拟和波面的方法求校正力。但在求解得校正力的过程中，由于准 zernike 多项式失去正交性，使得校正力的求解产生误差大、求解不稳定等问题。

    因此本文提出对准zernike 多 项 式 进 行householder 变换，根据变换后的波面求出镜面的刚度矩阵，然后采用阻尼最小二乘法求得校正力。根据该方法，利用 MATLAB 编程实现了主动光学校正力的求解过程。

    1 主动校正力的求解方法

    采用准 zernike多项式拟和法求主动光学校正力，首先在光学表面上取若干采样点，依次对每个支撑点施加单位牛顿的力，得出该状态下采样点的变形，拟和对应的准 zernike 多项式系数，并进行 householder变换。对所有的支撑点和采样点均进行同样的步骤后，组成镜面的刚度矩阵。然后对校正的镜面形状进行波面拟和，进行 householder 变换。由刚度矩阵和被校正面形变换后的项组成方程组，采用阻尼最小二乘法解此方程组，即可求得主动校正力。

    1.1 准 zernike 多项式波面拟和

    被测光学表面的面形或光学系统的波面总是光滑和连续的，任何一个 k 阶波面ω(x, y)都可以用一个准 Zernike 多项式的线性组合表示，如：

    经过 Householder 变换得到的 R 是一个上三角矩阵，因此通过式(3)很容易求得系数 A 的最小二乘解。至此，就求出了准 zernike 多项式的系数，拟和出了波面。

    1.2 校正力的求解

    假设镜子的背部共有 p 个驱动器，在波面上取 s个采样点。在镜子承受重力的状态下，对第一个驱动器施加单位牛顿的力，其他驱动器不加力，采用上述的方法，求出该波面的准zernike多项式的表达式，并进行 householder 变换。由于光学表面的变形量和波像差函数是采用沿光轴方向的变形量 s 或者是镜面法向变形量 n 来表示的，但有限元计算得到的变形值 z 与 s（或者 n）是不同的。如果直接采用有限元计算的数据(x, y,  z)或者是(x＋ x, y＋ y, z＋ z)来进行拟合，必然会带来误差。因此需要对镜面变形数据进行修正。