基于分形L系统生成三维景物的算法研究

　　1　引言

　　分形技术可以将自然界中绝大多数的非规则图形真实地在计算机上再现,该技术中的L系统定义简洁、结构化程度高,可以形象地模拟植物的生长过程,因此利用该系统模拟自然景物一直备受人们关注,尤其是对三维景物的真实模拟。

　　在模拟三维植物的生长过程中,最基本、最关键的问题是根据字符串改写命令,简单快速地确定下一个生长点的最终生长方向。目前,利用L系统生成三维植物的相关文章比较多[1-8],然而大部分没有具体研究如何简单地确定植物生长方向的表达式[1-4]。文献[5-8]中虽提及了生长方向的确定问题,但给出数学表达式较复杂,涉及的参数比较多,在此基础上设计的算法缺乏一定的稳健和快速性。

　　针对上述问题,在具体分析了植物生长过程之后,将生长方向和三个坐标轴的夹角余弦值作为确定下个生长点位置的变量,然后给出一种简单的植物生长方向的数学表达式,该表达式涉及的参数少,形式简单,可以使设计的算法快速而稳定。最后基于分枝L系统给出了一个随机、递归生成三维树的算法实例。设计算法时,为了简单地确定植物生长方向连续多次绕轴旋转之后的位置,可以如下处理:每当遇到字符串中的方向旋转字符时,将目前的生长方向向量平移到原点,记录该坐标,并按照字符串中的字符依次旋转直到下一个字符不是旋转字符为止,再求出此时的点坐标,然后得到方向余弦。这样做减小了旋转一次求一次方向余弦的复杂性。

　　2　三维植物生长方向的确定

　　植物生长过程中根据字符串改写命令,从一个生长点到下一个生长点生长方向的准确快速确定比较重要。本节主要给出一种确定植物生长方向的简便方法。

　　2.1　三维植物的生长过程

　　将二维L系统扩展到三维时,为了符合人们的视觉习惯和操作起来方便,选择右手直角坐标系,规定从坐标轴正向向原点看去,逆时针方向为正向角,顺时针方向为负向角,如图1。在空间中改变方向采取下列符号:

　　+:绕x轴逆时针转δ角,用旋转矩阵Rx(δ)表示;

　　-:绕x轴顺时针转δ角,用旋转矩阵Rx(-δ)表示;

　　:绕y轴逆时针转δ角,用旋转矩阵Ry(δ)表示;

　　/:绕y轴顺时针转δ角,用旋转矩阵Ry(-δ)表示;

　　&:绕z轴逆时针转δ角,用旋转矩阵Rz(δ)表示;

　　:^绕z轴顺时针转δ角,用旋转矩阵Rz(-δ)表示。

　　字符串命令,龟在确定下一个生长点位置之前,可能只绕轴旋转一次(如F-F&F+F),也可能绕不同坐标轴旋转多次(如-- ^^^F+&&-- ///F),也就是说相对于点B要旋转一次或多次点D才能到达点C。接下来主要讨论怎样确定植物