皮带驱动机构的主共振近似解分析

　　1　引言

　　皮带传动是机械工程中最普遍应用的传动装置之一[1],皮带驱动机构振动问题研究越来越受到关注。崔道碧[2]66建立考虑具有非线性黏弹性材料的皮带传动系统的扭转振动方程,应用多尺度方法[3]对方程求解,确定主系统稳态解的幅频响应方程。陈立群[4]采用解析和数值方法得到一类平带驱动系统非线性振动的幅频特性。Serge Abrate[5]分析功率传动带与运转中　　要产生轴向、横向及扭转振动。对适用于分析皮带自由振动和受迫振动的模型进行讨论,并讨论皮带和张力、输送速度、抗弯刚度、支承柔度、大位移、带和带轮的缺陷造成的影响。L. Zhang和J. W. Zu[6-7]对黏弹性传动带的非线性振动分别进行自由振动分析和强迫振动分析,运用多尺度法和摄动法,得到非线性振动的频率和振幅,研究弹性参数、黏弹性参数、轴向运动速度和几何非线性等对频率和振幅的影响。F. Pelli-cano[8]研究传动带的主共振和参数共振的非线性,从实验和理论上进行分析,并考虑轮的偏心对其影响,对比简化模型和实验数据。本文研究皮带驱动机构的主共振,并分析带的长度和横截面积、外激力、谐调值、系统阻尼等对系统的影响,同时分析一次近似解、二次近似解的不同点。

　　2　基本方程

　　设两个刚性轮由具有非线性材质的皮带联接,主动轮上作用有简谐力矩M0cos(Ωt),系统的结构简图如图1所示。由图1可知,r1为主动轮半径,r2为从动轮半径;J1为主动轮转动惯量,J2为从动轮转动惯量,K1为皮带的线性拉伸刚度,k′为皮带的平方非线性拉伸弹性参数,k为皮带的立方非线性拉伸弹性参数,c为粘性阻尼系数。皮带的总长L=       　　E是带的弹性模量,A是带的横截面积。若皮带轮在运转中皮带的绝对伸长为ξ,则皮带所具有的非线性弹性力[2]66为     

3　主共振近似解对比分析

　　3.1　主共振二次近似解

主共振定常解的稳定性就是自治系统在定常解(a,φ)(即奇点)处的稳定性。因此采用Routh-Hurwitz判据分析主共振的稳定性。将方程(12)在(a,φ)处线性化,形成关于扰动量Δa和Δφ的自治微分方程

　　3.3　主共振一次近似解、二次近似解对比分析

       4　数值分析结果

　　由式(19)可以计算系统主共振的响应曲线,分析不同参数对响应曲线的影响。

　图2为三种不同阻尼值时系统主共振的响应曲线,由此可知,增大阻尼可以减小系统主共振的振幅和共振区。图3为三种不同激励幅值时系统主共振的响应曲线,由此可知,增大激励幅值可以增大系统主共振的振幅和共振区。图4为三种不同皮带总长时系统主共振的响应曲线,由此可知,增大皮带总长可以增大系统主共振的振幅和共振区,同时滞后现象越来越弱。图5为三种不同弹性模量时扭转共振的响应曲线,由此可知,增大弹性模量可以减小扭转共振的振幅和共振区,同时滞后现象也明显了。图6为四种不同主动轮转动惯量时扭转共振的响应曲线,由此可知,增大主动轮转动惯量可以增大扭转共振的振幅和共振区,同时滞后现象越来越弱,并且出现了曲线偏向的不同。图7为三种不同从动轮转动惯量时扭转共振的响应曲线,由此可知,增大从动轮转动惯量可以增大扭转共振的振幅和共振区,同时滞后现象越来越明显。图8为三种不同主动轮半径时扭转共振的响应曲线,由此可知,增大主动轮半径可以减小扭转共振的振幅和共振区,同时滞后现象越来越明显。图9为三种不同从动轮半径时扭转共振的响应曲线,由此可知,增大从动轮半径可以减小扭转共振的振幅和共振区,同时跳跃现象越来越弱。图10为三种不同调谐值时系统主共振振幅阻尼响应曲线,由此可知,增大调谐值σ振动幅值和共振区减小。图11为三种不同调谐值时振幅—皮带的总长响应曲线,由此可知,系统主共振曲线具有跳跃和滞后现象,同时存在非跳跃曲线。