若干预处理方法在低速粘性流动中的应用比较

　　引　　言

　　在流体力学中,对于包含低速、亚声速、跨声速和超声速的全速度流场,以马赫数为衡量尺度,把流体分为不可压流和可压流,一般来说,在Ma<0.3时,认为是不可压,Ma在0.3以上则属于可压缩流。描述可压和不可压流动的控制方程,从数学性质上来讲有很大的不同,可压流控制方程是抛物-双曲型的,不可压流动控制方程是椭圆型的,由此两者的数值求解算法有很大差异。

　　采用解初值问题的时间推进方法——时间相关法求解问题时,马赫数大于0.3时压缩性较为明显,可以得到较为满意的结果,随着马赫数趋近于零,流体逐渐呈现不可压缩性,方程出现刚度问题,使得收敛减慢,求解精度降低。刚性问题可以通过将方程转换到不可压方程而得到解决,计算方法一般采用涡-流函数或SIMPLE等系列算法,但是在有些流场中,既包含不可压流动,又包含可压缩流,此时的控制方程必须用可压缩方程。预处理方法的优势在于用可压流的方法求解不可压流,可以很好地解决这类问题。

　　预处理方法始于20世纪80年代,其思想始于人工压缩法,是人工压缩法的丰富和发展,目前国内外的研究相当普遍,存在大量预处理的研究和应用。

　　本文研究若干用于求解可压Navier-Stokes方程的预处理方法,比较其在低速粘性流动中的效果,为处理复杂工程问题奠定基础。

　　1　预处理方法

　　1.1　控制方程

　　对称形式的预处理Navier-Stokes方程为:

　　式中:Q=(ρ,u,v,p)T,Qv=(p,u,v,T)T,A′,B′,L(Qv)具体表达式参见文献[1],其中Γ是预处理矩阵,可以有多种选择,本文采用Weiss-Smith预处理矩阵[2],Choi and Merkle预处理矩阵[1],Pletch-er and Chen预处理矩阵[3]具体表达式如下:

　　其中εa=min[1,max(Ma2,ε1,ε2)],ε1=Ma∞2,ε2=χν2Δx2c2,εb=γM2。

　　1.2　方程的离散

　　本文基于守恒形式的控制方程,采用有限体积法,四步龙格库塔时间推进求解。为了计算程序的通用性,将对称形式的预处理方程转换为守恒形式,守恒形式的控制方程引入预处理矩阵PP=MΓM-1,M= W Q后变为:

　　其中W=(ρ,ρu,ρv,ρE)T,对流通量E,F,粘性通量Ev,Fv的具体表达式参见文献[1]。由于守恒变量形式(5)和对称变量形式(1)的预处理控制方程有相同的对流通量特征值和特征向量,因此本文按方程(5)离散求解。

　　1.3　三种预处理方法对应的特征值

　　Weiss-Smith预处理特征值为:

　　Choi and Merkle预处理特征值为:

　　Pletcher and Chen预处理特征值为: