自动控制理论 第一章 自动控制的基本概念 1.4 控制系统举例(3)

则（3.126）式因而可以写成

　　(3.127)

因为f在到区间内是常量，所以式（3.127）就变为

　　(3.128)

推广到一般表达式

　　(3.129)

式中

这就是最简单的数值积分方法——欧拉法。欧拉法由于算法简单，误差较大，实际计算中很少使用。工程上应用较普遍的一种数值积分法是四阶龙格-库塔（Rungekutta）法。四阶龙格-库塔法的计算公式为

　　(3.130)

式中

四阶龙格-库塔法在计算常量f时，不像欧拉法那样只取时刻的斜率代替整个到区间的斜率，而是以不同方法计算出4个斜率值 并进行加权平均。这样的道德平均斜率更接近于原来的曲线，因而精度较高。当系统的数学模型是微分方程或传递函数时，一般先要变换成状态空间表达式。因为上述数值积分法是一阶微分方程的积分法，而状态方程的各方成都是一阶微分方程，只需对每一个方程进行重复平行的计算就可以了。