带有分割遮拦环形干涉图的波面拟合

　　0 引 言

　　波面拟合是干涉条纹处理过程中的重要一环，其实质是利用一个完备基底函数系的线性组合，将离散采样点的波面数据拟合成与实际波面尽可能一致的波面函数。目前，大部分商用干涉仪数据处理软件和光学设计软件都使用 Zernike 圆多项式[1]作为基底函数系来描述光学系统的像差和光学零件的面形，这是由于绝大多数光学系统和光学零件都具有圆形光或者圆形通光孔径。但是，在检测具有中心遮拦的光学元件面形时，往往得到环形的干涉图样，Zernike 圆多项式在环域内不具备正交性，各项之间存在交叉耦合现象，使拟合结果失去了物理意义。研究表明[2-5]，采用不同项数 Zernike 圆多项式拟合环形波面，当环域的中心遮拦比 ε 变大时，计算结果中对应项的系数呈现出极大的不稳定性，应采用在该区域内加权正交Zernike 环多项式进行波面拟合。

　　然而，在测量共轴反射光学系统(如 Schwarzschild投影物镜等)的波像差时，由于反射镜支架的存在，采集到的干涉图样近似环形且带有较小的分割遮拦，如图 1 所示。分割遮拦的存在势必会破坏 Zernike 环多项式在该区域的正交性，从而对拟合结果产生影响。

　　文中从理论上分析了 Zernike 环多项式在带有不同大小分割遮拦的单位环形区域内的交叉耦合现象，分析过程中采用了耦合现象较明显的 Zernike 圆多项式进行对比;并分别采用 Zernike 圆多项式和 Zernike 环多项式对图 1 的干涉波面进行拟合，从拟合残余误差、各项 Zernike 系数的稳定性、传递矩阵的条件数三个方面，对比分析了两种多项式的拟合精度、可靠性以及抗扰动能力。结果表明，当环形区域中分割遮拦较小时，Zernike 环多项式具有较高的拟合精度、可靠性和抗扰动能力。由于反射镜支架加工过程中，在保证支撑强度的情况下，总是越细越好(分割遮拦小)，所以在光学测量实验中，Zernike 环多项式完全适用于带有分割遮拦的环形波面拟合，达到较好的拟合效果。

　　1 理论分析

　　Zernike 环多项式是由 Tatian[6]和 Mahajan[7]提出的，在引入中心遮拦比 ε 的基础上，采用 Gram-Schmidt正交化的方法对 Zernike 圆多项式进行修正，推导出了同 Zernike 圆多项式具有相类似性质且在如图 2 所示的单位环域上加权正交的 Zernike 环多项式。ε 定义为中心遮拦比，为环域内外圆半径的比值。如图 2 所示，当 ε=0 时，单位环域变化为单位圆域，所以 Zernike圆多项式可以看作 Zernike 环多项式在中心遮拦比为零时的特例。

　　同 Zernike 圆多项式相似，极坐标形式的 Zernike环多项式可表示为n次径向多项式和m次角向多项式的乘积，其归一化形式可表示为：