不等精度直接测量不确定度的评定

　　一 问题的提出

　　在不等精度直接测量时，由各测量值二及其标准差二计算加权算术平均值x的标准差二二时，有两个计算公式

　　式中:h—各测量值的权;二—各测量值的标准差;二—单位权标准差;二—加权算术平均值的标准差。

　　但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢?本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。

　　二、公式的数学推导

　　在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:

　　测量结果的最佳估计值为

　　则测量结果的不确定度评定为:

　　对式(5)求方差有

　　设各测量值二的方差都存在，目己知分别为二z，即D (x)=as2

　　由(4)式有

　　又因为

　　从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是己知的。而在实际测量中，‘常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导:

　　由残差。一二一x对。单位权化

　　由工加。的权都相等，因而可设为1，故用一p。代替贝塞尔公式中的。可得单位权标准差的估计值

　　将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值

　　从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差己知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值;而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。从概率论与数理统计知识可知，只有在n -} o0时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。

　　三、公式选用的一般原则

　　笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，卞要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。

　　1.各测量值的标准差未知时

　　显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(l)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。

　　2.各测量值的标准差已知时