计量技术中相关系数的理解及应用

　　引言

　　在自然和社会现象中，变量之间存在着某种依存关系，即为统计关系，也叫相关关系。相关系数是反映变量之间相关程度的重要数字特征。在误差理论与数据处理领域，相关系数有着广泛的应用。相对于其他概念，相关系数在实际的认识和使用中存在一定难度。因此，正确地理解和运用相关系数，对于数据处理尤为重要。

　　1 相关系数的定义引出及其理解

　　在计量技术的理论中，“相关系数”先后在误差合成、测量不确定度合成以及回归分析[1]中用到，概念是先用后提，没有数学铺垫，让人感到有些费解。鉴于其中的相关系数主要是指线性相关，如果从数据处理的基本方法——最小二乘法出发，在回归直线的拟合过程中引出和定义相关系数，就可以为我们定性、定量地理解相关系数奠定基础。

　　回归分析中，用直线y=ax+b去拟合n个点(xi,yi)(i=1,2,Λ,n)时，可以先作出散点图。根据最小二乘思想，就是要寻找适当的a,b值使为最小。

　　将Q对a,b分别求偏导数，并令其为零。则当Q达到最小时：

　　由于(4)式左边是非负数，现设其左边的式子为ρ²，则ρ²值的大小应与散点接近回归直线的程度有关，即ρ²可以表示变量x与y的线性相关程度。因此，定义

　　显然有1-ρ2≥0，即|ρ|≤1。其中，当|ρ|=1时，由(6)式可知，即，此时散点都分布在回归直上;当

此时散点都分布在回归直线附近，所以|ρ|越接近于1，线性相关程度越大。

　　分析回归直线的斜率的表达式及相关系数ρ的定义式，可知

　　当ρ>0时，a>0，两变量正相关;当ρ<0时，a<0，两变量负相关;当|ρ|→0时，a→0，回归直线倾向于与x轴平行。所以，|ρ|越接近于0，线性相关程度越小。由于任何两个随机变量x与y的分布均客观存在，其方差Dx与Dy也是确定的，所以(5)式又可以写为：

　　cov(x,y)既有类似于方差的形式，又有x与y的共同参与，称之为x与y的协方差。ρ无量纲，而cov(x,y)有量纲。cov(x,y)与ρ成正比，所以协方差也是一个可以描述随机变量间相关程度的一个量[2]，但依赖于x与y的度量单位。因此实际中，通常用ρ而不用cov(x,y)来判断 x 与 y 的相关程度。对于随机变量x、y，如果存在某种相关关系，对于x取值范围内的每一个值，与之对应的y值通常都不只一个，而是若干个，它们都在y的取值范围内。因此，当x遍取其取值范围内的一切值时，对应的点就是一些随机点(x,y)。在概率论中，当这些散点的布列趋势与一条直线的形状相像时，就说x、y存在线性关系。这种相像的程度，完全取决于ρ的大小。这就是相关关系存在的根本原因。当然，也可能存在其他的相关关系。可以采用参数、非参数的表示方法，用广义相关系数衡量非线性相关。