多自由度系统微振动数态的仿真实现研究

　　0 引言

　　在许多机械系统，根据其工作状况，简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求。 事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成， 严格地说，都是一个无限多自由度的系统(或连续系统，分布参数系统)。 根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质量，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质量、弹簧和阻尼去形成一个离散的、有限多的集中参数系统，这样就得到一个简化的模型。 多自由度系统是对连续系统在空间上的离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限元分析和实验模态分析技术的发展，多自由度系统的理论和分析方法显得十分重要。

　　1 三自由度系统微振动系统模型

　　如图1所示， 两个弹簧连接三个质点组成的一维振动系统的运动，其中弹簧的倔强系数为k，中间的质点的质量为M，两端点的质量为m。

　　以图1所示的三个质点相对自身平衡位置的位移作为x1，x2，x3三自由度振动系统的广义坐标，用拉格朗日法，可得出系统的运动微分方程：

　　方程组的矩阵形式为：

　　将简正频率分别代回(5)式，可得到三个与之对应的本征矢量。

　　A11，A21，A31的右脚码的左边数字为质点的编号，右边数字为简正频率的编号， 这三个量分别是与ω1对应的简正模式的三个质点的振幅，简正模式的振动方程为：

　　在程序中，用矩阵方法求解本征频率的方法与参考文献[2]2.16节的弹簧连接的耦合摆中使用的方法相同， 这里不作阐述。 得到的三个本征频率是6.455,4.0825和0。

　　用傅立叶变换求本征频率的办法是对数值求解微分方程所得到的质点1的位移曲线 (见图2)作傅立叶变换，将得到的频率去掉零频分量和共轭的分量，然后平方得到功率(见图3)。 功率谱中两个极大值即是不为零的两个本征频率。 得到的结果是6.4736和3.9984。用拉普拉斯变换法可求常微分方程的解析解。程序中有MATLAB的符号计算功能， 对微分方程组进行拉普拉斯变换(为了简单，求解中取质点1的初位移为XL10，其余的初位移和初速度取为零)，然后求解变换所得的方程组，最后将解逆变换，得出原微分方程组的解。 结果与解析方法的解相同。

　　将有关数值代入后结果也相同。 在屏幕上显示的分别是

　　这个表达式就是式(15)。 在每个余弦函数中ω前面的数值就是简正频率。 根据参考文献[2]2.16的作法，在这个表达式中取不同的项加以组合，就可以分别表示不同的振动模式如一般振动、 按简正模式1运动、按简正模式2运动等。 如果没有动画，一般振动模式的运动是很难想象的。