双分形表面的粗糙度表征及参数计算

　　1　引　言

　　一般地,粗糙表面z(x,y)相对于其均值面z(x,y)=0的偏差假定是一随机过程,因此可以用统计参数高度分布方差m0、斜率方差m2和曲率方差m4来表征[1,2]。然而,表面的随机性和多尺度属性使得高度分布的方差取决于样本的长度、斜率和曲率的方差依赖于测量仪器的分辨率或其滤波器的形式[3]。因此对同一粗糙表面用这些统计参数表征时,其值随测量仪器的分辨率和扫描长度而变。故有必要使用粗糙表面的“固有”参数,即不依赖于测量尺度的参数来表征。

　　粗糙表面具有随机性、无序性和多尺度性,如果表面被重复放大,可以观察到粗糙轮廓更加详细的结构———直到纳米尺度。另外,所有放大倍率的粗糙轮廓都表现出统计自相似性,如图1所示。近期发表的论文表明[1~5],分形几何可用于粗糙表面的研究,其中应用最多的是Weierstrass-Mandelbrot函数(以下简称为W-M函数),它能满足粗糙表面的所有属性,而且其参数是不依赖于测量尺度的。然而越来越多的实验表明,大部分机加工表面的功率谱,在其谱区内服从不同的幂定律,表现出双分形性,称其表面为双分形表面。本文将提出一种双分形表面的粗糙度表征方法,并给出双分形参数的计算公式。

　　2　粗糙表面的双分形表征

　　分形几何是在七十年代中期发展起来的一门新的数学[6],目前已用于研究各种工程表面出现的随机性、无序性和多尺度性。这种表面轮廓的数学特性是连续的、不可微的和自仿射性的。其不可微性是由这样一种事实产生的:当粗糙表面轮廓被重复放大时,确定“点”的粗糙度越来越精细的结构不断出现,所以在其表面上的任何点都不可能画出其切线或切平面。即一个粗糙表面在任何长度尺度时总不是光滑的。自仿射性是由于在不同的放大倍数下出现的轮廓相似性。研究表明,分形几何中的W-M函数满足所有的这些数学特性,因而可用于描述工程表面的粗糙结构。W-M函数由下式给出[3]:

(1)

　　式中:x为工程表面水平方向的扫描坐标;z(x)为工程表面垂直方向的粗糙轮廓;D为分形维数;G为工程表面的特征长度尺度;γ=1.5为所求得的合适值;γn是空间频率的模,它决定着粗糙轮廓的功率谱。由于粗糙表面轮廓是不稳定的随机过程,所以最低频率与取样长度L的关系为γnl=1/L。

　　W-M函数的功率谱为:

　　式中:S(ω)是谱的功率;ω是空间频率,它是粗糙度波长的倒数。从式(2)可以看出,轮廓的功率谱服从幂定律,S(ω)的重对数图的斜率与表面粗糙度的分形维数D有关,参数G决定着谱在功率轴上的位置。