回归分析与最小二乘圆

　　80年代初,国家标准局颁布了形状和位置公差国家标准GB1183-80.其中规定了许多长度计量中的几何量定义,诸如平面度、圆度、圆柱度、直线度等.这些定义都是按最小包容的概念来规定的.而对于如何从测试数据出发来计算这些几何量却没有规定,也没有给出计算公式,从而使计量界同仁不遗余力地去探索、研究关于这些几何量的测试方法和计算方法.在研究圆度和圆柱度误差的过程中,出现了“最小二乘圆”和“最小二乘圆柱面”的提法.一般认为,用最小二乘法求得的初值是最好的,然后再进行优化逼近.这种考虑问题的方法是比较自然的,因为在许多问题中,最小二乘法不失为一种有效的方法.但是用最小二乘法能够解决的问题也是有限的,它对于线性问题和可以线性化的非线性问题是有效的.而对于一般的非线性问题就不一定适用.本文就一般情形:工件在仪器工作台上任意放置,被测点可不在过回转中心的等分角线上,也不附加“小偏差假设”条件,谈一下笔者对此问题的看法.

　　1　回归分析及其应用基础

　　在生产过程和试验过程中存在的随机因素使得在过程中变量之间的关系具有某种不确定性.为了找出变量间关系的规律性,需要在大量试验和观察中用统计方法去寻找隐藏在随机现象中的统计规律性.这类统计规律通常称为回归关系.关于回归关系的理论和计算方法称为回归分析,它广泛应用于科学技术和经济建设中的各种预测和控制工作中.但是回归分析着重解决的是线性问题和可以转化为线性模型的问题,如大家熟知的求回归直线(即最小二乘直线)、回归平面和回归超平面等都是一元或多元的线性回归问题.回归分析方法之所以有效,不仅在于它是按求极值的方法使离差平方和为最小,列出正规方程组并能求得它的公式解,即回归方程式,而且还因为它能够用数理统计方法对回归方程进行显著性检验.当检验结果为“显著”时,方能认为所求得的回归方程适用.而对回归方程的显著性检验依赖于方差分析.对由试验数据带来的离差平方和Q可以分解为两种成分,一是由变量间的线性关系引起的离差平方和Q₁,二是由变量间非线性关系和随机因素带来的误差平方和Q₂.离差平方和分解公式可表示为

其中,yi为与可控变量x的数据xi相对应的因变量y的值.为与xi相对应的回归直线上的点的纵坐标.当Q₁远远超过Q₂时,变量y与x的线性关系显著.关于“超过”、“显著”程度的判定则是用数理统计方法构造统计量

　　它服从自由度为(1,n-2)的F分布.在显著性水平0.05(或0.01),即置信水平95%(或99%)的要求下查F分布表,可查得临界值F0.计算Q1、Q2然后计算F值.若F>F0,则认为y以95%(或99%)的概率与x有线性关系.这时变量y与x线性关系显著,所求的回归方程可作为经验公式.若F未超过F0,则不能下此结论.