基于锁放干扰力矩作用的摆式陀螺仪动力学建模

　　目前，国内陀螺寻北仪在整个寻北过程中，需多次锁放陀螺，目前完成一次锁放通常需要约 1 min，而 Gyromat 3000一次锁放仅需十几秒，速度很快，且陀螺灵敏部的稳定性好[1 -3]，因此，锁放的快慢和陀螺灵敏部的稳定性直接影响寻北时间，这就需要进行摆式陀螺仪在锁放干扰力矩作用下的动力学建模。

　　1 摆式陀螺仪结构与寻北原理

　　1. 1 摆式陀螺仪结构

　　摆式陀螺寻北仪如图 1 所示，由与外壁固连的金属悬挂带、陀螺房壳、陀螺转子及配重等组成[4]。其中金属悬挂带一般由镍铬等合金材料构成，具有较好的弹性特征和较高的抗拉强度; 陀螺房壳中装有陀螺转子，房壳起到保护和屏蔽的作用，陀螺转子装在万向支架上，具有 3 个方向的自由度。配重使转子缺少 1 个方向上的自由度。在平时存放时，由下面支撑装置将整个陀螺灵敏部托起; 工作时灵敏部下放，由悬挂带吊起，进行寻北.

　　1. 2 摆式陀螺仪寻北原理

　　如图 2 所示，设初始位置陀螺灵敏部的重力 P 通过悬挂带与陀螺房连接点 O 和重心位置 G，此时重力不产生力矩，转子也不发生进动。当地球自转了 β 角时，转子轴相对水平面也抬高了 β 角，这时陀螺仪的重力 P 产生了力矩，l 为悬挂带下悬挂点至重心的距离，称为倾心高，由陀螺进动规律知，该力矩作用在陀螺转子轴上，将产生进动。而对于指定的陀螺仪，它的 P、l 和动量矩 H 都是固定的，进动角速度 ωP只由角度 β 决定，而 β 的变化却是由地球自转所造成的，也就是说，是由地球自转和重力矩的综合作用，使陀螺转子轴发生进动。由于重力矩的方向指向北方，这样总有一个指向真北的外力矩作用在陀螺灵敏部，使陀螺的动量矩沿最短路径向真北方向进动。

　　2 基于动静法的摆式陀螺仪动力学建模

　　依据力学中的达朗伯原理，将牛顿第二定律 F = ma 变换为 F + Q =0，Q = - ma 表示物体的惯性力，一般为相对惯性力、牵连惯性力和哥式惯性力三者的矢量和，如此可使动力学问题转变为静力学问题求解，从形式上把受力运动状态转为受力平衡状态，这种处理问题的方法称为动静法或惯性

　　力法[5]。

　　设陀螺转子轴子午面转动的角加速度和角速度分别为¨α 和α; 绕水平面转动的角加速度和角速度分别为¨β 和β。关系如图 3 所示。

　　同时假设地理坐标系相对惯性坐标系转动的角加速度( 角速度) 在地理坐标系各轴上的投影分别为ωx、ωy和ωz( ωx、ωy和 ωz) 。由于陀螺仪具有绕 Ox 轴和 Oy 轴的转动惯量 Ix和 Iy，当陀螺仪绕这两轴出现角加速度时，就有一般定轴转动刚体的转动惯性力矩。转动惯性力矩的方向与角加速度方向相反，如图 4 所示。当陀螺仪相对地理坐标系的转角 α 和 β 均为微量时，转动惯性力矩为