Lowner理论对动态断裂问题的应用初探

　　1 引 言

　　固体中裂纹的生成与扩展问题(注：亦称裂纹传播问题)是断裂力学的一个重要课题，而裂纹扩展过程中应力场与应力强度因子以及位移场的确定则是该课题纵深发展的一个方向，属于断裂动力学的范畴。

　　目前，线弹性断裂静力学，弹塑性断裂静力学研究较为成熟，已进入工程实用阶段，而与之同时产生的断裂动力学进展缓慢。 究其原因,主要是：

　　(1)线弹性断裂静力学相对较简单 ，理论上便于使用数学工具进行处理，尤其是对二维问题，复变函数论方法、奇异积分方程等工具的应用取得巨大的成功，其中共形映射方法的灵活应用， 使不少静态问题获得完美的分析解。

　　(2)动态断裂问题由于考虑惯性和应变效应 ，情况变得十分复杂。 如对于裂纹运动或传播(扩展)这两种情况，按文献[3]的说法：“迄今不存在一种求解运动裂纹和传播裂纹的普遍有效的方法”，“解运动边界问题的数学理论尚未得到充分发展，不足以解决这类的力学问题。 ”这也许就是理论断裂动力学现状的一个缩影。 在线弹性条件下，断裂的动力学问题，需求解具应力及位移混合边界条件的运动方程(或称波动方程)，当前，对于二维问题，常用积分变换法求解或用复变方法求函数不变解或特殊的分析解，但真正能求出完整分析解的情形是极其罕见的，故数值解法在工程中最常用， 不过数值解法对付复杂问题仍然有困难。 除此之外，断裂分析中另一个方向是近似分析解，但对于动态断裂问题，目前有关研究工作不多见。

　　实际上，裂纹扩展有多种情况，在扩展的稳定阶段，速度不高时，惯性对应力场的影响是有限的，对缓慢扩展我们完全可以借鉴静力学的处理方式。 本文将共形映射理论中深刻的 Lowner 方法引入裂纹的动态扩展问题，用Lowner 微分方程来刻划裂纹扩展过程中应力场的连续解。 在忽略惯性及弹性波影响(极缓慢扩展时)以及考虑裂纹扩展速度影响这两种情形下分别进行讨论， 以期对特殊的裂纹扩展平面给出求近似分析解的一种方法。

　　2 Lowner 理论及近况概述

　　在单复变函数的几何理论中， 关于共形映射的实现的方法，习称 Lowner 理论或 Lowner 参数表示法，它由著名的捷克分析学家 Karl. Lowner 于 1923 年建立， 后经 Γ.Μ.Голузин、П.П.Куфарев 等学者进一步推广发展 ， 成为几何函数论的重要组成部分。

　　记单位圆盘上定义的，满足的全体单叶解析函数构成族 S，S 的一个子族 SL，即单裂纹族，意即任意 ,将单位圆域 D 映射为 CΓ，C 为开复平面，Γ 为从有穷远点 W0到 ∞ 的 Jordan 弧，如图 1 所示。