弹性波散射反演的一种新思路

　　引言

　　弹性波散射理论在工程实践中有广泛的应用背景，比如地震工程、地质勘探、无损探伤和土木工程等领域都涉及到弹性波散射问题。弹性波是伴随着外部扰动和弹性振动而产生的，当传波介质中存在缺陷( 孔洞、裂纹、夹杂或分界面) 时，就会引起弹性波的散射，其直接效应会导致介质自由表面的局部位移异常、缺陷边界的应力集中等现象发生。因此，研究弹性波散射是非常有意义的。弹性波散射有正演问题和反演问题之分，正演问题是研究反演问题的基础。且一般说来，正演问题是良态问题，反演问题多为病态问题，主要原因有这样几个，( 1) 反演问题的数据空间是有限维的，而模型空间是无限维的，用有限维的数据求解无限维空间中的模型参数是条件 欠 缺 ( 欠 定) 的;( 2) 问题的反演算子( 或逆算子) 是无界的或单射的( 多值的) 或不存在; ( 3) 数学处理过程中选定的空间度量不合适; ( 4) 物理响应与模型参数的对应关系是强非线性的。目前正演问题研究得相对比较充分[1-6]，而反演问题却存在着一定的困难，目前研究方法[7-9]主要有积分方程法、射线法、传递矩阵法等线性化方法以及优化方法等间接求解方法，而处理病态反演问题比较有效和成功的方法是正则化方法及其各种变形[10]6-100。由于弹性波反演问题在工程中是普遍存在的且非常有意义，尽管研究起来有诸多困难，但目前来说，它已经成为人们研究的主要方向之一[11-19]。

　　本文从优化的角度对半空间界面含有半圆形凹陷以及半空间内圆形孔洞对 SH( shearing horizontal) 波散射的反演问题进行讨论，建立目标函数，提出优化模型，以期对弹性波散射反演研究给出一种思路和方法。由于在实际问题中一次性要处理的反演物理参数的个数不是很多，少则一个，多则两到四或五个。因此从优化模型的角度许多反演问题是低维优化问题，那些适用于低维优化问题求解的简单直接优化方法及其改进方法都可以应用于反演问题求解，而仍然能够保证计算精度和算法收敛速度; 并且当被反演的参数的预先估计区间足够小时即预估足够准确的话，那么许多适用于局部收敛的确定性优化方法也可用于求解反演问题。

　　需注意的是反演求解用到的已知数据是通过测量得到的带有误差的量，存在测量精度问题，因而会直接影响反演结果的准确度。此外，无论是理论计算还是测量，已知数据常常是一系列离散点上的结果。容易想象，若获得的已知数据点数量不足够，反演结果就会出现多解现象，这就如同三点确定一个唯一的圆，而只给一点或两点不能确定唯一的圆的道理是一样的( 因为可有无数个圆通过一共同点或共同两点) 。另外，一般来说，物理响应与待反演参数之间多是非线性函数关系，研究这类问题比较成功的方法之一是优化方法。本文方法中要处理的目标物理量是容易测量的位移和应力，其中应力可通过电测应变计法获得应变，再利用胡克定律或本构关系得到应力，而要反演的参数是波数和掩埋深度。