弹性薄板弯曲问题的双互易杂交边界点法

　　1 引 言

　　弹性板是一种基本结构构件，研究其在各种横向载荷作用下的弯曲变形具有重要的工程意义。基于 Kirchhoff 假设，弹性薄板弯曲问题的控制方程为双调和方程[1]。这种高阶偏微分方程边值问题，除了少数几何形状和边界条件简单的规则板能得到解析解外[1-2]，大部分工程实际问题需要采用有限元[3-4]、边界元[5-8]等数值方法求解。

　　无网格法是近年来国内外兴起的一种新的数值计算方法。它不需要划分单元，场函数的近似完全基于节点，从而避免了繁琐的网格生成，简化了前后处理过程。目前，应用于薄板弯曲分析的无网格方法主要有无网格 Galerkin 法 (EFG 法)[9-11]、无网格 Petrov-Galerkin 法 (MLPG 法)[12-15]、点插值法(PIM)[16-17]、微分求积法 (DQ 法)[18]等，这类无网格法需要利用节点对域进行离散，属于域类型的无网格方法。而基于边界积分方程的边界类型的无网格方法只需要在边界上布点，如局部边界积分方程法(LBIE 法)[19]，但该方法在积分时仍需要背景网格。文献[20-22]提出了杂交边界点法(HBNM)，这是一种纯边界类型的无网格方法，场函数插值和积分都不需要网格，且其只需在边界上布点的特性使其具有输入数据简单、计算量小的优点。

　　然而，杂交边界点法目前仅能求解控制方程为二阶偏微分方程的边值问题，如势问题、弹性力学问题等。本文将双互易法[23]引入到杂交边界点法中，同时基于一种板的修正变分泛函构造 HBNM 的系统方程，使其能够求解弹性薄板的弯曲问题。该方法将薄板弯曲问题的解分为通解和特解两部分，其中特解利用径向基函数插值得到，通解则使用杂交边界点法求解。同时推导了杂交边界点法在弯曲问题中的理论公式，利用数值算例验证了本文方法在求解薄板弯曲问题时的正确性和有效性。

　　2 薄板弯曲的控制方程

　　根据Kirchhoff 假定，弹性薄板弯曲问题的控制方程为[1]

　　式中： w 为板的挠度; p 为任意横向载荷;/[12(1)]32D = Et−μ为板的抗弯刚度(这里： E 为材料的弹性模量;μ 为泊松比;t 为板的厚度)。对于光滑边界，边界条件为

　　式中：分别表示边界上的单位外法向向量、切向向量;ρ 为曲率半径;w，i表示w 对 ni的偏导。重复出现的下标 i、j、k 表示分别取 1、2 约定求和。在实际应用中常把上述边界条件组合为工程中常见的三类边界条件，即

　　3 薄板弯曲的杂交边界点法

　　根据双互易法的思想，挠度解w可以分解为通解cw 和特解pw ，即

　　3.1 特解的插值

　　利用径向基函数对式(1)右端项进行插值，则有