波动数值模拟中的吸收边界条件

　　在对无限域中的波动问题进行数值模拟时，需要用人工边界截取无限域得到有限计算模型，将计算规模控制在一定的范围之内。然而，有限模型不能完全等效于实际模型，因为在这些人工边界上会发生波的反射，从而引起波的振荡，导致数值模拟失真。因此，需要在这些截断边界上引入人工边界条件来消除波的反射。

　　一般来说，人工边界条件主要有五类：边界积分法、无穷元法、完全匹配层(PML)法、透射理论和吸收边界法。边界积分法[1]有较高的精度和适用性，但是它不仅空间偶联，而且仅在频域中有效，同时由于含有特殊函数和卷积积分而导致数值实现十分复杂。无穷元法[2―3]可以方便的引入到有限元程序中，但是可能产生局部非对称的矩阵，导致近场波动分析离散后的对称性丧失。完全匹配层方法[4]能较为完全的吸收所有非平行入射和非零频率的入射波，但是存在时间偶联和空间偶联的问题。

　　透射理论和多次透射边界条件[5―6]精度较高，易于和有限元方法相结合，但需要进行自由波场计算和边界区域的波场分离，较为复杂。粘性边界[7]以及后来发展的粘-弹性边界条件[8―10]形式简单，但是对某些角度入射波的吸收精度较差。

　　Higdon[11―13]基于一维波动方程提出了一系列由一阶微分算子的乘积构成的吸收边界条件，许多学者也使用 Higdon 边界条件建立更精确的高阶吸收边界条件。高阶边界条件虽然精度较高，但是它们的计算时间随着阶数增加呈线性甚至几何级数增长。与其相比，一阶吸收边界形式较为简单并且耗费计算时间较少，因此提高一阶吸收边界的精度仍然有很大的意义。Ju S H[14]在Higdon 一阶边界条件的基础上提出了模拟吸收边界条件的有限元方法。该方法首先利用 Higdon 算子得到波速与波传播方向余弦的比值，然后再次使用这个算子实现有限域中波动在人工边界处的向外传播。这种方法精度较高，并且可以方便的在有限元程序当中实现。在波动问题的数值模拟当中，由于波传播方向的任意性，吸收边界条件对不同角度入射波的吸收精度是衡量其好坏的一个重要标准。另外，波动有时必须由人工边界处输入，要求吸收边界条件不仅能吸收波，而且能保证波的正常输入，因此需要修正吸收边界条件以考虑输入波的影响。

　　本文修正了 Higdon 一阶吸收边界条件，发展了一种基于有限元方法的数值方法。在本文方法中，吸收边界条件在计算中根据入射波的变化自动更新，然后修正吸收边界上的节点速度或应变。修正后的吸收边界条件既可以吸收波，又可以保证波的正常输入，使得考虑输入波的吸收边界条件精度更高并且更易于数值实现，数值算例证明了它的有效性。