用边界点法分析任意形状板的自振频率

　　在很多工程问题中，常常要求求解广义代数特征值问题。而目前的有限单元法( FEM) 、有限差分法( FDM) 以及边界单元法( BEM) 等数值方法在处理复杂几何形状的工程的本征值问题时，网格很难划分，并且划分网格很花费时间。近年来，无网格法越来越受到学者们的重视，其最初的思想可以追溯到用光滑粒子法( SPH) 模拟天体物理学现象[1]，许多学者致力于用无网格方法求解偏微分方程( PDEs) 的数值解。目前，无网格方法比较多，例如，无网格伽辽金法( EFGM)[2]，重构核点法( RKM)[3]，基本解方法( MFS) 。

　　本文采用一种简单的由 Chen 和 Tanaka[4，5]提出的无网格方法———边界点法( BKM) 求解各种形状的板在各种边界条件下的固有频率。BKM 是基于径向基函数( RBF) 方法的一种，由于径向基函数方法不采用移动最小二乘法，用一维的距离变量来构造多元空间变量，不用划分网格。而 BKM 继承径向基函数的无网格特性，与维数和几何形状无关，是完全的无网格方法，不需积分，容易学习和编程。Chen 和 Hon[6]从数学上说明了 BKM 是谱收敛的，谱收敛就是说近似程度只和选择的物理解的光滑程度有关系。

　　Kang[7，8]和 Chen[9]分别用无网格方法给出了夹支板和膜的自由振动的固有频率的数值解，然而对于计算复杂的高阶边界的板的自有振动的固有频率的数值解仍然有一定的难度。Kang[7]将劲度矩阵有 2N ×2N 维降到 N × N，这种方法能够加快计算速度，节约计算机内存空间，但降维的过程中有矩阵逆的操作，使矩阵的条件数变差，容易使劲度矩阵奇异，最终无法求解。另外，在处理多边形的角点的法向量时，Kang 简单的将相邻两边的该点的法向量的矢量和代替该点的法向量，其法向量大于单位 1。在计算夹支板和膜的固有频率时，是可行的，但是计算简支边和自由边时，误差很大，无法满足精度要求。本文的角点法向量也采用两边法向量的矢量和的方向，但是法向量的大小采用单位 1，这样更合理，数值解也更精确。

　　1 板自由振动的控制方程

　　各向同性的薄板的自由振动方程为

　　其中，w = w( r，t) 为横向变形，m珚 为面密度，t 为时间，D = Eh3/12( 1 - v2) 为弹性抗弯刚度，E 为杨氏模量，v 为材料的泊松比，h 为薄板厚度。假定板作简谐振动

　　其中，ω 表示圆频率，W( r) 为板的振型函数，将方程( 2) 代入方程( 1) 有

　　其中 k 为板的频率参数。方程( 3) 的通解[10]为

　　W( r) = AjJ0( k|r - rj| ) + BjI0( k|r - rj| ) ( 5)其中，J0( r) ，I0( r) 分别为第一类和第一类修正的贝塞尔函数，|r - rj| 为边界点之间的距离( 图 1) ，r 为边界点的矢量，AJ，Bj为未知系数。