热环境中功能梯度圆形薄板的混沌运动

    １　引 言

    功能梯度材料（ＦＧＭ）是一种新型非均匀复合材料，通常由陶瓷与金属两种材料构成，具有强度高，韧性好及耐高温等优良性能。它最初是作为航空航天工业中的功能材料而开始研究的。但近年来随着对其应用范围的拓展，许多研究者着手研究功能梯度材料结构在机械载荷和温度载荷作用下的动力学分析。

    Ｐａｒｖｅｅｎ和Ｒｅｄｄｙ［１］基于一阶剪切变形板理论，研究了一维稳态温度场中功能梯度矩形板的非线性动力响应。Ｎｇ等［２］研究了受面内简谐载荷作用的 功 能 梯 度 矩 形 板 的 参 数 激 振。Ｙａｎｇ和Ｓｈｅｎ［３］研究了受局部侧向脉冲载荷功能梯度圆柱曲板的自由振动和参数共振。杨正光，仲政等［４］给出了压电圆板轴对称自由振动精确解。曹志远等［５］提出了一种新的功能梯度构件的三维细观元模型。李世荣等［６］分析了热环境中功能梯度材料圆板的自由振动问题。秦世伦等［７］采用指数函数有限分层法探讨了功能梯度厚板的热应力分层计算方法。最近，张伟等［８，９］研究了在横向荷载和面内激励共同作用下，四边简支板的非线性动力响应，１∶１内共振和主参数共振分岔等问题。

    从现有资料来看，对功能梯度圆板的非线性动力学问题研究较少。本文在经典板理论框架下，给出了热环境中功能梯度圆板的非线性动力学方程。通过Ｍｅｌｎｉｋｏｖ方法求得系统可能出现混沌运动的临界条件，并利用数值方法讨论了材料体积分数指数及温度对临界条件的影响，分析了激励频率和激励幅值的分岔特性。

    ２　功能梯度圆板的材料物性参数

    考虑如图１所示陶瓷－金属功能梯度圆板，其材料性质沿厚度方向呈现梯度变化，材料物性参数可表示为

    Ｐ＝ＰｃＶｃ＋ＰｍＶｍ     （１）

式中Ｐｃ和Ｐｍ分别为陶瓷和金属材料的物性参数，且随温度变化而变化［１０］。

    Ｐ_ｃ，ｍ＝Ｐ_０（_－１Ｔ^－１＋_１＋Ｐ_１Ｔ＋Ｐ_２Ｔ^２＋Ｐ_３Ｔ^３）   （２）

式中Ｐ_０，Ｐ_－１，Ｐ_１，Ｐ_２，Ｐ_３是温度相关系数，由材料自身性质决定，Ｖｃ和Ｖｍ分别是陶瓷和金属材料的体积分量，且有

式中ｎ为体积分数指数（非负实数），其他几何参量如图１所示。

    假定材料的弹性模量Ｅ，热胀系数α依赖于温度的变化，而泊松比μ，热传导率κ和物质密度ρ则与温度无关。由式（１，３）可得