变阶次分段ARMA模型算法研究

　　引　　言

　　随着现代工程结构从规模上向着大型化、微型化的两极发展,结构越来越复杂,时变因素影响越来越大,因此对于时变系统模态参数识别具有重要的研究意义[1]。对于实际工程问题,识别时变系统的模态参数,确定其在一定条件下的变化范围,具有实际应用价值。

　　本文使用时序分析方法中的ARMA模型算法[2],并将其推广应用于时变系统,即分段ARMA模型算法[3],然后利用仿真算例,验证该算法的准确性和有效性。

　　1　有限元建模

　　1.1　时不变悬臂梁模型

　　模型对象是等截面悬臂钢梁,梁长l=1.6 m,截面宽度b=0.06 m,高度h=0.02 m,均匀划分为10个有限元单元,每个节点分别具有一个平动自由度和一个转动自由度,见图1。假设悬臂梁满足比例阻尼条件,用有限元法求解其固有模态,前五阶固有频率如表1所示:

　　1.2　时变悬臂梁模型

　　为建立一个时变悬臂梁模型,可以改变模型的刚度矩阵K、质量矩阵M,或者阻尼矩阵C。这里改变质量矩阵M。设质量矩阵M是时间的函数,质量矩阵变化如下所示：

　　其中Δt取采样时间间隔,为较好地模拟一个连续时变的系统,Δt不宜过大;ΔM是质量矩阵的变化量,取ΔM=10-6kg。通过有限元求解,前三阶固有频率在20 s内的变化曲线如图2所示。

　　2　ARMA模型算法分析

　　常用的ARMA模型算法是使用prony方法进行时间序列响应拟合的ARMA参数建模。调用的MATLAB方式为[4][b,a]=prony(h,nb,na),返回时域脉冲响应h对应的传递函数的分子系数向量b和分母系数向量a。ARMA参数建模的prony方法主要用于滤波器设计、指数信号建模和系统辨识。其中,nb、na分别为传递函数分子和分母的阶次,即滑动平均阶次q和自回归模型阶次p。

　　2.1　奇异值差值图法的引入

　　建立ARMA模型的关键问题是确定模型阶次,但目前尚没有成熟的定阶方法准则。理论上,虚假模态的奇异值很小,而真实模态的奇异值较大,且随着阶次的升高,奇异值增量越来越小,最终趋于零。利用奇异值的这种特性,文献[5]给出了奇异值差值图法。具体的推导过程如下:

　　由Yule-Walker方程可以得到ARMA模型的自回归系数矩阵R。对R进行奇异值分解,较大的奇异值一般都对应真实模态,而那些很小的非零奇异值一般来自虚假模态。R的奇异分解表示为:

　　将自相关矩阵R的奇异值序列λ从大到小排列,相邻奇异值两两相减,即

　　由奇异值差值矩阵D可作出奇异值差值图。对于时不变悬臂梁模型,取初始阶次n=500,得到奇异值差值图,如图3所示。从图中可以看出,在奇异值阶数约为30时,奇异值差值曲线平稳趋于零,因此确定模型阶次为p=30,q=29。AR模型算法结果见表2。