基于CUDA的并行计算在瞬态分析中的应用

　　引　　言

　　瞬态分析问题主要研究结构在外载荷作用下的时间历程响应,计算结构在振动时的动位移和动应力的大小以及变化规律,是结构动力学的一个重要研究方向。求解瞬态分析问题通常有显式积分和隐式积分两种求解格式。由于求解此类问题的时间步长一般较小,实现时间序列上的求解需要耗费较多的时间,因此瞬态分析问题的并行算法研究得到了很多学者的重视。自NASA的Noor A K[1]第一次在向量处理机上实现了显式积分的并行处理以来,国内外大量学者在瞬态分析的并行计算方面开展了卓有成效的研究。

　　Ronfu[2]等人在共享存储MIMD的环境下实现了直接积分法的并行计算。余天堂[3]等利用直接积分法结合子结构技术和网络并行计算的特点,提出一种求解结构瞬态响应的并行解法。Hajjar JF[4]等人针对三维非线性空间杆系结构,在分布式MIMD环境下,讨论了中心差分法的并行效率,提出了一种能够减少通信量的数据结构形式。ChiangK N[5]针对冲击问题,分别在两种类型的MIMD环境下,实现中心差分法的并行化,而且发现数据通信成为提高并行效率的瓶颈。

　　目前并行计算主要是通过基于CPU的并行环境来实现的,典型的以CPU为核心的并行计算系统包括阵列处理机、向量处理机、共享存储多处理机、分布存储多处理机和分布共享存储多处理机[6]。

　　近年来,随着GPU技术的不断发展,其性价比不断提高,集成在显卡内的处理核心也大幅度增加。由于GPU的设计将更多的晶体管用于数据处理,而非数据缓存,因此GPU的浮点运算能力要远高于CPU。CUDA是显卡厂商NVIDIA在2006年推出的运算平台,是利用GPU进行科学计算的全新的并行计算体系架构[7],非常适合高密集数据的有限元计算。

　　1　瞬态分析问题的显式积分过程

　　系统的运动微分方程

　　其中M、C、K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;u¨t、u·t、ut是系统的加速度向量、速度向量、位移向量;Ft是外载荷向量。

　　不考虑系统的阻尼,则上式可以改写为

　　其中Fintt是系统的节点内力向量

　　中心差分法是求解瞬态问题的一种有效的方法。由于在每一步迭代运算时,系统下一时刻的运动状态可以完全由上一时刻确定,这就避免了每一时刻的迭代运算,因此与隐式解相比较,中心差分法在效率上有较大优势。

　　1.1　中心差分法的逐步递推公式

　　二步形式的中心差分法迭代公式如下

　　将上述公式代入系统的运动微分方程就可以求解系统在任意时刻的运动状态。