微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题

　　轻质高强材料的不断出现和材料技术的飞速发展使得外形美观、受力合理的构件与结构不断的出现.其中变截面结构已得到推广应用,对其力学行为的研究也受到人们的关注.Piovan和Sam-paio[1]采用有限元法分析了功能梯度可伸长梁的轴向振动问题.李清禄[2]对悬臂梁满应力截面进行了设计求解.王东东等[3]采用无网格法求解了线性荷载作用下Euler悬臂梁的弯曲.文献[4]采用打靶法求解两端固定功能梯度Euler梁的热过屈曲及自由振动.赵凤群等[5]采用打靶法分析由二氧化锆和Ti-6Al4V 2种材料组成的FGM杆的热后屈曲行为.徐腾飞等[6]使用Frobenius法求解了变截面Euler梁的振动频率与振型.文献[7]还将DQM法用于分析非柱形曲梁的横向振动.Malelkzadeh等[8]采用DQM和FEM混合法求解双参数弹性地基上梁自由振动和屈曲问题,并考虑了横向剪切变形的影响.文献[9]用DQM法成功地分析了置于非线性弹性地基上的复合材料梁大振幅振动,证明了DQM求解非线性振动有效性.以下采用DQM法分析变截面功能梯度梁的弯曲,考察DQM对变系数的四阶微分方程2点边值问题求解的有效性,分析几何参数和物理参数连续变化时功能梯度变截面梁的弯曲特性。

　　1　控制方程

　　考虑变截面梁,长为l,材料特性沿长度连续变化,作用横向载荷q,梁的弯曲平衡方程为

　　假设梁的弹性模量与横截面尺寸均沿轴线连续变化,可设为E = E0f(x)、I = I0g(x),将其带入式

　　(1)得问题的基本控制方程

　　引入无量纲量ξ=xl,W =wl,Q =ql3E0I0得无量纲形式的控制方程

　　具体数值计算时,考虑如下2种情况功能梯度变截面梁:

　　(1)圆截面梁,假设梁的直径和弹性模量均沿长度方向线性变化,即

　　其中β= dl/d0,α= El/E0.将f(ξ)与g(ξ)代入式(3)得控制方程

　　当α=1时,梁的弹性模量E为定值,横截面连续变化,此时控制方程为

　　当β=1,梁的横截面为定值,弹性模量连续变化,此时控制方程为

　　(2)梁的弯曲刚度沿长度方向呈指数变化,即

　　此时控制方程为

　　计算中均考虑两端简支功能梯度变截面梁,边界条件为

　　2　数值方法

　　采用微分求积法对变系数高阶微分方程进行数值求解.设区间[0,1]上有N个互不重合的结点0=ξ1<ξ2<ξ3<…<ξN=1,采用非均匀结点划分公式

　　离散后全部结点位移表示为

　　根据微分求积法基本理论[7~9]