横观各向同性轴对称圆柱的精化理论

    圆柱所占区域可以用集合表示为

    Ω＝｛（ｒ，θｚ）ｚ ∈Ｄ，ｒ ≤ａ｝．（１）式中，Ｄ是圆柱的中心轴，截面半径为ａ，ｚ为轴向．基于Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ假设，忽略圆柱端部应力的影响，可以获得该结构轴向拉压的变形分析．很多学者还研究了考虑圆柱端部影响的变形理论，Ｐｕｒｓｅｒ和Ｄｏｕｇａｌｌ利用级 数展开给 出 了 一 个 非 线 性 解，Ｓｙｎｇｅ［１］、Ｒｏｂｅｒｔ和Ｋｅｅｒ［２］、Ｓｔｅｐｈｅｎ和Ｗａｎｇ［３］ 等研究了半无限各向同性轴对称圆柱．

    ２００９年，Ｚｈａｏ等［４］将板的分解定理和精化理论［５］的研究思路推广到圆柱的研究中，从柱坐标下扭转方程出发，利用调和函数的Ｂｅｓｓｅｌ数算子表示，给出了无任何预先假设的圆轴扭转的精化理论和分解定理．将扭转圆轴内应力分解为两个应力状态：Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ应力状态和超越应力状态，同时还分析了轴面有切向外载的情况．赵宝生等［６］将调和函数的Ｂｅｓｓｅｌ函数算子表示的方法推广到准调和函数的使用中，获得了横观各向同性圆柱扭转的分解定理和精化理论．

    文中将作者前期工作的研究思路推广到横观各向同性圆柱轴对称变形的研究中．利用横观各向同性材料的轴对称通解和准调和函数的Ｂｅｓｓｅｌ算子函数表示，将圆柱内部位移和应力分解，其中超越部分满足端部自平衡条件．

    １　应力场和位移场分析

    横观各向同性轴对称材料的本构关系为

式中：Ｃ_ｉｊ为弹性常数，２Ｃ_６６＝Ｃ_１１－Ｃ_１２；ｕ_ｉ为位移；σ_ｉｊ为应力．

    应力满足平衡方程

    横观各向同性材料Ｅｌｌｉｏｔｔ－Ｌｏｄｇｅ通解的轴对称形式为［７］

这里，准调和函数ψ_１和ψ_２满足准调和方程

其中

ｓ^２１和ｓ^２２是下面方程的两个解（假设ｓ^２１≠ｓ^２２），

    将Ｌｕｒｅ方法［８］推广到柱坐标，准调和函数ψ_１和ψ_２可以表示为

式中是关于ｚ的待定函数，Ｊ０是零阶Ｂｅｓｓｅｌ函数，准调和函数的零阶和一阶Ｂｅｓｓｅｌ函数算子表示为

    利用零阶和一阶Ｂｅｓｓｅｌ函数算子表示，可以将横观各向同性圆柱内位移场和应力场重新表示为

式中ω_ｉ＝Ｃ_４４（１＋ｋｉ）（ｉ＝１，２），另外，如无特别说明，文中相同脚标的物理量不进行约定求和．