无假设圆轴扭转分解理论及应用

　　圆轴是工程中比较常见的结构,大量应用在机械工程当中。圆轴扭转变形只有切向位移,径向和轴向位移均为零,因而,没有正应力和横截面内切应力。1855年,Saint-Venant对该问题进行了研究,提出Saint-Venant(SV)假设,获得了扭转的SV解[1],该解忽略了轴端部的应力分布对其内部应力和位移的影响。Purser和Dougall考虑了端部分布边界条件,给出了本征函数展开形式的非SV解。此后,Synge等人研究了受一般载荷的半无限圆柱问题[2-4]。

　　2009年,Zhao B. S.从柱坐标下扭转方程出发,利用调和函数的Bessel函数算子,给出了无假设的圆轴扭转的精化理论和分解定理,将扭转圆轴内应力分解为SV和超越(Transcendent,Tr)两个应力状态,同时分析了轴面有切向外载的情况[5]。其后,文献[6]对圆轴扭转做了进一步的研究,给出了圆轴扭转的衰减边界条件。

　　本文将轴内应力与轴端边界条件联系起来,获得了无假设的圆轴扭转问题的分解理论,将圆轴扭转问题分解为超越和非齐次两个基本问题,并给出简要证明,最后给出算例。

　　1　前期成果

　　在柱坐标下,圆轴所占空间为

　　式中:D是圆轴的轴线,r为径向坐标,z为轴向坐标。圆轴扭转变形的位移场是

　　其中:θ0为切向单位矢量。结构的本构关系为

　　1·1　轴面自由的应力分解

　　研究可知,圆轴扭转时,若其轴面自由,即r = a时,σrθ=0,其内应力可分解为SV和Tr两个应力状态[5]。

　　SV应力状态对应的位移场和应力场为

　　式中:TSV=∫ArσSVθzdA代表扭矩。

　　Tr应力状态对应的位移场和应力场为

　　式中

　　1·2　轴面有切向外载时的精化方程

　　当轴面作用切向载荷时,其边界条件为[5]6

　　则其内位移场和应力场为

　　式中:z=/z;J1(rz)和J2(rz)分别代表一阶和二阶Bessel函数

　　函数g(z)满足

　　2　分解理论

　　2·1　定　理

　　在柱坐标下,圆轴占据式(1)所示空间,其内应力满足平衡条件

　　在边界上满足

　　该扭转问题可以被分解为超越和非齐次两个基本问题。

　　非齐次问题满足的位移场和应力场具有式(9)的形式,在轴端满足应力边界条件

　　或者位移边界条件

　　超越问题的位移场和应力场具有式(5)的形式。其中,P(r,z)满足式(6)和式(7),轴端满足应力边界条件

　　或者位移边界条件

　　2·2　证　明

　　不难证明,两个问题对应的应力状态都满足平衡方程。通过边界条件(14)或(15),可以确定非齐次问题中的待定函数g(z),将其代入式(9),获得非齐次问题的位移和应力状态,在轴面上,σNHrθ=τ1(z)。令