用能量原理推导圆轴扭转弹性变形与应力分布

　　在弹塑性力学中[1]，对圆轴扭转时横截面上应力分布规律的推导，一般是从材料力学平面假设出发，得到弹性解; 再使用理想弹塑性模型，使应力分布规律在塑性区满足屈服条件，得到弹塑性解和全塑性解。由这些解的结果，在弹塑性阶段对圆轴卸载，则内部会出现残余应力; 大量金属材料的扭转试验并未证实以上结论。

　　目前使用的扭转试验国家标准[2]则认为在弹塑性阶段，应力分布按原线弹性分布规律计算比较符合试验现象。

　　构件在外力作用下发生变形属自然现象，变形分布必遵循一定的自然规律。用应力、应变叙述变形规律时，则有了平衡方程与变形协调方程，不但对应真实变形的应力解要满足平衡方程，还要求与其对应的应变满足变形协调方程。用能量原理叙述变形规律时，对线弹性材料，则有最小变形能原理，即对应外力作用发生的所有可能变形，真实的变形会使构件内储存的变形能为最小值，这是变形应遵循的自然规律。

　　对于弹塑性小变形，在圆轴已产生塑性变形的情况下，仍考虑轴中变形遵循能量原理，则可知其中弹性变形原有分布规律不变。分析构件在弹塑性阶段卸载过程中释放出的变形能，并与线弹性加载时产生的变形能比较，能验证以上结果。新的认识可归结为: 圆轴扭转时小塑性变形的出现，并不影响材料的弹性性质，也不改变构件内弹性变形的分布规律。

　　1 最小变形能原理

　　在弹性体上，外力在可能位移上所做的功等于对应应力在相应的可能应变上所做的功，可表示为[3]:

　　这就是弹性变形虚位移原理，认为可能位移和相应的可能应变为实际变形中的弹性变形部分。引入应力应变关系:

　　式中 A( εij) 是弹性变形能密度。

　　式( 1) 可写为:

　　式( 3) 为弹性变形最小势能原理。弹性变形与外力始终有一一对应的线性关系，构件内的变形能U 等于每一外力与其相应弹性位移乘积二分之一的总和，则式( 3) 又可写为:

　　式( 4) 即最小变形能原理，其物理意义是，在满足变形连续条件和位移边界条件的所有可能变形中，真实的变形使变形能取最小值。对线弹性体，式( 4) 也可由最小余能原理得到，也可以说，在满足平衡条件和力边界条件的所有可能应力中，真实的应力使变形能有最小值。由热力学第二定律[4]，物体受外部影响，从一个平衡态经过一串缓慢变化的平衡态，到达一个新的平衡态，稳定平衡条件下内能是正定的并取最小值，即可得到式( 4) 。对工程结构，静载作用下的弹性变形、弹塑性变形平衡状态，结构中的内能就是材料中的变形能。因此受力结构弹塑性静力平衡时，变形能取最小值是结构变形自然原理或变形规则。