大范围直线运动梁的非线性共振响应计算

    随着航空航天工业的发展，空间大范围运动弹性结构的动力学研究已成为一个引人关注的研究领域． 文献［1 － 4］基于 Kane 方程，建立了大范围运动柔性梁的非线性动力学模型，并以悬臂梁为研究对象，对含内共振大范围直线运动梁的参激振动稳定性、参数激励与内激励联合作用的大范围直线运动梁的非线性动力行为等进行了研究． 文献［5－ 6］利用弹性梁的变形理论和 Hamilton 原理对作大范围转动弹性梁的刚—柔耦合动力学建模理论进行了研究，用能量—动量矩方法分析了所建立方程的耦合动力学方程的稳定性． 文献［7］利用Melnikov 方法和数值仿真讨论了大范围平移运动弹性梁的全局分叉和混沌． 文献［9 －10］建立了旋转梁的大范围运动方程，计算了矩形板大范围运动动力刚化的几何非线性公式． 文献［11 － 12］在运动方程中应用非笛卡尔变量与笛卡尔变量关联． 获得一般的惯性力，建立了直梁在大范围运动且小弹性变形时的数学模型; 文献［13 － 14］基于有限元法建立了非线性动力学模型，并作了数值计算． 这些文献从不同角度研究了大范围运动构件的力学模型，并分析了其运动稳定性，这些研究中大都以大范围转动为研究对象，只有文献［1 － 8］是研究直梁或平移运动． 而在大范围直线或平移运动的研究中，由于其真实结果难于用实验方法获得，所以目前的研究主要集中在理论研究上． 本文以直梁大范围直线运动为研究对象，建立了直梁纵横运动的动力学模型，以简支梁为研究对象，通过多尺度法的计算与非线性有限元两种不同计算结果的对比，证明了本文方法的可靠性．

    1 大范围直线运动直梁的动力学建模

    以两端简支、作大范围直线运动的直梁为研究对象，其上任意一点相对于固定坐标系 xoy 作合成运动，即动系 u o'w 以加速度 a 沿 x 轴方向作直线运动，梁上任意一点相对于运动坐标系 u o'w 作相对运动( 图 1) ．

    运用弹性力学方法建立系统的运动微分方程( 图 2) ． 根据动力学方程有

其中由动系的加速度 a 引起的 x 方向的惯性力为( 图 3)

    2 多尺度法分解

    由振动特性知

    同时考虑线性阻尼的影响，利用式( 6 ～13) 得到各阶主振动的振动方程为 

式中: k =1，2，3; d_k1= 0

    3 方程解耦

    方程式( 15) 为耦合方程． 耦合系数矩阵可表示为

求上式的特征矢量并作归一化处理，求得矩阵 T．将 U_k= TW_k代入式( 14，15) ，同时将 b_k，d_k各式转化为含 W_k，V_k的变量式，然后再对式( 15) 等式两边同乘 T^{－ 1}，可将方程( 15) 解耦．