基于有限元仿真的板状物体的变形分析

    在实际使用中，薄板经常会受到各种载荷和支撑条件的作用，进而使其性能和结构容易发生变化。因此，研究薄板在静态载荷下的响应特性，对其应用及结构设计具有重要的意义。然而，目前国内外对薄板变形的研究主要在薄板的热变形分析［１－３］、成形模拟［４］和焊接变形模拟［５－６］等方面，且这些研究大多集中在其数值模拟过程，而有关线弹性理论和有限元模拟对比分析的研究报道较少，为此，笔者从线弹性理论出发，分析出薄板在静态载荷下的响应特性，并将其与有限元仿真结果进行对比，验证分析的正确性。

    １　理论分析

    １．１　矩形板状物体在静态载荷下的变形与应力分析    该试验研究对象的板厚与板面的最小尺寸之比为１／２０，所以可作薄板处理［７］，对于受横向载荷引起的薄 板 弯 曲，满 足 克 西 霍 夫 假 设 及 其 近 似 理论［８－９］，即板的材料是弹性的、均质的、各向同性的、无初始应力的；板的挠度与板的厚度相比是微小的；板中面法线变形后保持直线，且与弹性曲面保持垂直，同时该直线长度不变；薄板中面上各点只有垂直位移，无面内位移。采用的材料为铝，弹性模量 Ｅ为７１．７ＧＰａ，泊松比λ为０．３３，密度为２　７００ｋｇ／ｍ３，边 长 ａ 为 ２０ ｍｍ，边 长ｂ 为 ２０ ｍｍ，厚 度ｔ为１ｍｍ。

    试样的边界采用四边固支（夹支）和简支，由于部分学者曾对挠度和应力公式的解析式和经验公式进行对比分析，发现两者误差较小［１０］。一般情况下完全可使用经验公式直接进行计算，所以该试验采用的所有计算公式直接引用罗氏应力应变公式［１１］。

    １．１．１　四边固支薄板在静态载荷下的变形与应力分析

    １．１．１．１　承受均布载荷

   当载荷均匀分布在整个平板，最大挠度出现在板的中心，为：

    ｗ_ｍａｘ＝αｑｂ^４／（Ｅｔ^３）          （１）

式中　α———取决于ａ／ｂ的平板系数；

    ｑ———单位面积上的载荷。

    当ａ＞ｂ时，最大应力出现在长边ａ的中心，最大应力为：

    σ_ｍａｘ＝－β_１ｑｂ^２／ｔ^２       （２）

    σ＝β_２ｑｂ^２／ｔ^２              （３）

式中　β_１，β_２———取决于ａ／ｂ的平板系数。

    １．１．１．２　

    承受局部集中载荷当集中载荷均匀分布在半径ｒ_０为０．５ｍｍ 的小同心圆上，最大挠度则出现在板的中心处，为：