刚弹耦合多体系统增广特征矢量及其正交性

　　刚弹耦合多体系统是兵器、航空航天、机器人、机械等行业中大量存在和普遍采用的动力学模型,在工程实践中有重要的作用。由于刚弹耦合多体系统中刚体与弹性体之间的动力耦合作用,使得其特征值问题非自共轭,振型函数不具有通常意义下的正交性,从而难以用经典的模态方法精确分析系统的动力响应[1]。这是在分析多体系统动力响应时所面临的一个重要难题。

　　与弹性结构连续系统和复杂质点系离散系统振动特征矢量的正交性条件对系统响应求解的重要性一样,多体系统特征矢量的正交性条件是用模态方法精确计算系统响应的先决条件,是振动系统响应可以用有限几阶模态就可较快收敛到所要求的工程精度的前提条件。要实现对多体系统动力响应的精确求解,必须解决多体系统特征矢量的正交性问题。目前,理论和工程应用中仅仅解决了某些特殊而相对简单的动力学模型的特征矢量的正交性问题[2-4]。

　　多体系统增广特征矢量是为解决多体系统特征矢量正交性而引入的一个新概念[5]。本文介绍了多体系统增广特征矢量的一般构造方法及其正交性条件,给出了建立和证明多体系统增广特征矢量及其正交性条件的程式化步骤。

　　1　多体系统的体动力学方程

　　多体系统总是可以用集中质量、刚体、弹性体等体元件按一定的铰接方式联接而成。对于单个的体元件,均可写出如下矩阵形式体元件的无阻尼运动的动力学方程

　　式中:Mi、Ki、vi、fi称为体元件i的参数矩阵。Mi表征体元件的质量分布,Ki表征体元件及其联接点处的刚度分布,vi为由表征体元件的位移(含角位移)的物理参量组成的坐标列阵,fi为体元件所受的外力(含外力矩)列阵。

　　1·1　空间运动集中质量

　　如图1所示,两端均与弹簧相连的集中质量的动力学方程为

　　式中:Fx,i为集中质量i受到的外力,左边各项分别表示惯性力和联接点处的系统弹性内力。

　　当多体系统的构成比较复杂时,所得的系统总体动力学方程不仅庞大,而且刚度矩阵K的形式比较复杂。为了解决这些问题,本文采用的方法是将(2)式写为

　　式中: qxi,i-1=-ki-1(xi,i-1-xi-2,i-1), qxi,i+1=-ki+1(xi+2,i+1-xi,i-1)分别表示联接点处的系统弹性内力。

　　若该集中质量i不仅在x轴方向上运动,而在x、y和z轴方向上作空间运动,则动力学方程为

　　定义线性算子D3为[6]

　　其物理意义在于当D3作用于系统中某联接点的位移时表示体元件在该联接点处受到的弹性内力,I和O分别为体元件的输入和输出点。

　　利用线性算子D3,把集中质量的动力学方程(4)式写为(1)式的形式,可得