杜芬型滑移系统振动非线性评估

　　线性系统由于对叠加原理的适用性,其动力响应计算与分析大为简化。其地震作用的稳态响应可以通过将地震作用分解为简谐激励的简单组合分别求解后叠加得到。严格地讲,对非线性系统不能应用叠加原理进行响应预测与分析。但当非线性因素较弱时,有望利用叠加原理较方便地获得响应良好的近似解答,叠加原理也成为判别系统非线性程度的准则之一。

　　杜芬振子是著名的非线性振动系统,具有电子、信息、机械和土木系统等工程背景[1, 2]。文献[3]详细论述了杜芬系统自治振动的相平面特征和响应的近似解析解;文献[4]解析地预测了高斯白噪声作用下杜芬系统的稳态随机响应;作者也分别在文献[5, 6]探讨该系统线性与立方恢复力等效模型的适用性,进行了系统响应分布的线性化预测和矩信息的作用研究。

　　杜芬型滑移隔震系统的非线性体现在滑动摩擦阻尼和线性加立方恢复力两个方面,系统振动的整体非线性及其作用机制值得关注。文献[7]分析了系统的地震响应特性及其突变性,本文拟通过双频简谐激励作用下杜芬型滑移系统对叠加原理的适用性研究,进一步评估其振动非线性。

　　1　系统振动微分方程及其无量纲化

　　采用如下单质点双频简谐激励系统:

　　其中,x为单质点滑块相对于地面的滑动位移;μ为滑动摩擦系数,g=9.806 65m/s2为重力加速度, sgn (·)为符号函数,ω0>0为系统(1)对应的线性系统的固有圆频率;A1,ω1及A2,ω2分别为双频简谐加速度作用的振幅与圆频率。

　　考虑将系统(1)无量纲化。为此引入无量纲滑移与时间参数

　　则系统(1)对应的无量纲方程为:

　　分别为激励作用的无量纲振幅和频率比,点“·”表示对无量纲时间参数τ求导。

　　2　数值计算与分析

　　现通过无量纲方程式(3)计算分析和评估滑移系统式(1)的振动非线性。限于篇幅,仅以无量纲滑移的计算结果进行说明。按如下方式得到响应的两类计算结果:

　　计算结果1:

　　直接由方程式(3)计算系统的滑移响应。此时的无量纲滑移记为y,相应的信号能量为

　　其中,Γ为无量纲时间参数τ的积分区间。

　　计算结果2:

　　将方程式(3)分解为

　　分别计算动力响应后然后进行合成叠加。此时的无量纲滑移记为y^,相应信号的能量为

　　定义系统滑移信号能量相对误差指标为

　　直接按方程式(3)计算的系统动力响应称为“标准响应”;通过合成叠加动力方程式(9),式(10)两者计算结果得到的动力响应为“合成响应”。可以“标准响应”作为评估“合成响应”近似性的标准,检验原系统对叠加原理的适应性从而评估其振动非线性。以两种形式作为评价手段:将计算结果1和2在同一坐标系中图形展示对比:利用信号能量相对误差δ定量评估。