波纹管在任意载荷作用下的几何非线性分析

    波纹管作为一种柔性连接或弹性元件,在石油化工和微型机械等领域有着广泛的应用。波纹管由于其广泛的应用而吸引了众多学者的兴趣,几何非线性研究的代表性方法有解析解与摄动解相结合[1], Newton法和差分法相结合[2]以及Newton法和有限元法相结合[3]等。这些研究大多针对波纹管的某一特定波形,在单一载荷下进行的,而对诸如储油罐波纹管管道这样的连接系统,在地震或地基下沉时,由于储油罐的环向多波效应,其作用在波纹管上的载荷往往是复杂的非轴对称载荷[4],因此有必要对任意载荷下的波纹管作出力学分析。

    1　基本理论

    根据薄壳理论,壳体中面上任一点有3个位移分量和3个转动分量,即

其中:u,v,w分别为中面上任一点沿经向s、环向θ和法向的位移;Φs,Φθ和Φ分别是绕θ轴、s轴及法线的转动。

    壳体内任一点的应变,可通过中面微元上的6个广义应变分量来描述,即

其中:ε_s,ε_θ,εs_θ分别表示中面内的伸长和剪切;χs,χ_θ,χs_θ表示中面曲率和扭率的变化。于是,在小应变、中等转动下的几何关系可由Sanders非线性薄壳理论给出[5],

    ε=Lq+ε_N,     (3)

其中

为广义应变向量的非线性部分。可见, Sanders几何关系中,非线性项仅由两个转动的乘积所组成。

    将转动与位移的关系也写成矩阵的形式,

    Ψ=Ωq,    (5)

式中L和Ω为线性微分算子矩阵,其中保留了与子午线曲率有关的项[4]。

    Sanders理论的本构关系仍为

    σ=Dε,     (6)

其中:D为弹性矩阵[4],σ为广义内力向量。

    2　研究方法

    2.1　Fourier级数表达式及非线性耦合项的处理

    为了利用旋转壳的几何轴对称性,同时便于处理环向多波的非轴对称问题,将所有相关变量沿θ展开成Fourier级数的形式。以中面位移和转动为例,其Fourier展开可表示为

为位移和转动的Fourier谐波系数列阵,而 

　　为解决非线性控制方程关于环向谐波n间的耦合问题,借鉴Ball[6]的思想,对弹性变形能中出现的转动平方项及转动与内力的乘积项进行特殊处理。以Φ2s为例,由式(8),有

对式(9)中的三角函数作积化和差运算

　　可以看出,诸如Φ2s这样的非线性耦合项都是由两个Fourier级数相乘形成的双三角级数,此双三角级数又可以简化成一个单三角级数的展开形式。因此式(10)又可表示为

　　对式(10)作变量替换,并与式(9)进行比较,最终得到Φ²s的Fourier展开式中的系数