变分法在含边裂纹正交各向异性板中的应用

    1　引　言

    复合材料在工程结构件中的应用不断增长,这要求在理论和实验上对材料力学性能进行研究。特别地,复合材料在制造、安装和使用过程中不可避免产生裂纹,因此材料断裂问题也受到重视。

    对于含裂纹板问题通常采用数值方法,例如有限元法(FME)、边界元法(BEM)和边界配点法(BCM)。本文利用Chen[1]提出的特征函数展开变法( the eigenfunction expansion variationalmethod)研究含边裂纹正交各向异性板问题,首先找出问题的特征函数展开式及其有限截断项,其次根据给定边界条件确定未知系数。在未知系数确定后,便很容易得知板中应力场和位移场。该方法既可应用于应力边界值和位移边界值问题,又适应混合边界值问题。这里需指出本文研究的是边裂纹沿材料主方向情形,若裂纹不沿材料主方向,仍可按同样方法进行。文章最后给出了一个简单算例数值结果并与文献[6]结果对照验证了方法的有效性。

    2　基本方程

    各向异性固体的应力、位移和应变分别为[2]:

其中φ(z₁)和ψ(z₂)是复势函数;z₁= x+ s1y;z₂= x+ s₂y;符号“’”表示对相应变量求导;s₁和s₂以及它们的共轭复数是特征方程的根;p₁、p₂、q₁和q₂由下式确定

这里a11、a12、a16、a22和a26是材料常数。

    正交各向异性情形下,特征根为纯虚数,即s₁= iβ₁和s₂= iβ₂。式(3)变为

上式中E₁₁、E₂₂、v₁₂和μ₁₂是正交各向异性材料工程弹性常数。

    2·1　特征函数展开式

    图1所示为裂面应力自由的边裂纹板,在裂纹面上有

    (σ_θθ+ iσ_rθ)_θ=±π=0    (6)

从Williams[3]的工作可知,特征函数展开式为

这里n/2是特征值且n≥0;未知复系数An= A¹n+ iAⅡn和Bn= B¹n+ iBⅡn存在如下关系(参照附录A)

    另外,根据England[4]和Freund[5]的定义式

可推导出下面关系式(参照附录B)

式(7)截取M项并代入式(1)得

    2·2　变分法

    定义函数Π为

其中ε_ij是应变分量;A(ε_ij)是应变能函数;Σ裂纹板所占区域;Cp是已知外力-P_i边界;C_u是已知位移-ui边界;nj是区域边界外法线方向余弦。

    利用Clapeyron理论

    式中包含2M个未知量,可由边界条件确定。

    3　算　例

    图2所示应力边界值问题,已知Cu=0和C =Cp,在算例中,定义β=表示材料各向异性程度,若β=1则为各向同性。另外a₁₂/a₁₁取为-0.3,β1取为1。未知量BⅠm和BⅡm由式(16)确定,然后应力强度因子可由式(10)计算得到。K₁/K⁰1的值列于表1和图3,K⁰1定义为