正交异性环板-刚性质量系统的大幅振动和热屈曲

   　随着纤维增强复合材料及其构件在航空、海洋、电器设备等工程中的日益广泛应用,复合材料板的振动和屈曲研究也日益引起人们的重视[1,2]。而极正交或圆柱型正交各向异性材料圆(环)板可看作是增强纤维在板的环向或径向分布的特殊增强形式。已有不少作者采用不同方法研究过极正交异性圆(环)板的非线性振动问题。例如,Dumi采用正交配点法研究了极正交各向异性圆板的非线性振动,其中考虑了弹性基础及中心刚性质量的影响[3,4]。Huang采用Kantorovich平均法,数值分析了具有中心刚性质量的各向同性圆板和变厚度正交各向异性环板的轴对称大振幅振动[5,6]。文[7]的作者采用有限元法分析了带有中心刚性质量的周边简支极正交各向异性圆板的大振幅振动。文[8]采用Kantorovich平均法和打靶法研究了面内变温对正交各向异性圆板非线性振动频率的影响。本文拟在文[8]的基础上,进一步研究中心固联-刚性质量圆盘的极正交各向异性环板在轴对称面内升温场内的非线性振动和热过屈曲问题,获得系统的轴对称大振幅振动和热过屈曲响应,给出相应的数值结果。

    1　问题的控制方程

    考虑一内半径为a、外半径为b、厚度为h的极正交各向异性弹性环板。沿内周边固联一质量为Mc且轴对称分布的中心刚性质量块(见图1)。其外周边为不可移夹紧。采用柱坐标系(r,θ,z)。假设板从自然状态起的升温场为T=T(r)。由文[6]可得环板-刚性质量系统轴对称大振幅振动位移形式的无量纲动力学方程及边界条件

其中　t为时间变量;u(r,t)和w(r,t)分别为径向和横向位移;Er、Eθ为材料弹性模量;υθr、υrθ为泊松比;αr、αθ为热膨胀系数;ρ为板的质量密度,D=Erh3/[12(1-υθrυrθ)]为弯曲刚度,T0为温度变化控制参数,可看作均匀升温。板的升温场可由此表示为T(r)=T0Θ(x),其中Θ(x)为一已知函数。

    如果在方程(1)和(4)中令惯性项为零,并记U(x,τ)=U(x),W(x,τ)=W(x),并将关于x的偏导数改为常导数,则可得加热环板热过屈曲问题的控制方程。

    2　近似分析

    只分析板在热过屈曲前的振动,即只考虑λ≤λcr的情况。其中λcr为反映板热屈曲特性的无量纲临界温度。采用文[8]中的方法,寻求方程(1)～(4)的“assumed-time-mode”形式解[5,6,8]。方程(1)～(4)的响应可近似表示为下列调和形式

其中　ω为系统的无量纲固有频率,ξ(x),η(x)分别为对应于位移U和W的振形函数,ξ0(x)为平面热应力问题的解

其中　上角标“’”表示关于空间坐标x的常导数。显然,对于任意的τ调和响应(6)不能精确满足方程(1)～(4),这里,采用Kantorovich时间平均法使其近似满足[5,8]。从而,可得下列齐次常微分方程边值问题