部分主动约束阻尼梁振动的假设模态法建模

　　主动约束阻尼(Active Constrained LayerDamping,ACLD)作为一种新型的主被动杂交阻尼技术,具有阻尼频段宽、鲁棒性能好等优点,被广泛用于结构减振降噪。典型的主动约束阻尼结构通常可分为基层、粘弹性阻尼层和压电主动约束层。该类结构工作时,粘弹性层发生剪切被动耗散结构的振动能量,压电层在外加电场作用下主动耗散振动能量。

　　ACLD结构作为一种典型的夹层结构,其研究可追溯到Kerwin[1]以及Mead和Markus[2]。目前,各国学者已针对ACLD的建模假设、数值方法、控制策略等方面进行了深入的研究[3-7]。其中, Cai等[8]以约束层纵向位移、基层纵向位移和整体横向位移为未知变量,使用假设模态法(AssumedModesMethod, AMM)研究部分约束阻尼覆盖的简支梁结构。Huang等[9]以基层纵向位移和横向位移为未知变量,使用AMM研究部分主动约束阻尼覆盖的悬臂梁结构。Hu和Huang[10]以基层纵向位移和横向位移为未知变量,建立了约束阻尼全覆盖的一般薄壳的运动微分方程,将其退化获到约束阻尼矩形板和约束阻尼梁结构的运动微分方程,在此基础上使用AMM建立相应的数学模型。

　　本文基于Mead-Markus的夹层结构假设,以部分主动约束阻尼梁为研究对象,使用AMM建立动力学方程,并与有限元法(FEM)结果进行比较,证实AMM建模的可靠性和优越性。在此基础上,研究压电层厚度、阻尼层厚度、ACLD块长度和位置对模态损耗因子的影响。

　　1 部分主动约束阻尼梁的基本方程

　　为简化研究,本文将Mead-Markus夹层结构理论用于主动约束阻尼梁结构,提出以下假设:各层之间完美粘结,不发生任何相对滑动;粘弹性层是线性粘弹性的,约束层和基层是弹性和各向同性的;忽略各层的旋转惯性和阻尼层纵向惯性;约束层和基层为Bernoull-iEuler梁,且结构横向位移一致;阻尼层仅发生横向剪切。此外,本文还假定外加电压只在压电层厚度方向诱导均匀电场。

　　压电约束层和基层的位移场可表示为

式中下标c和b分别代表压电约束层和基层。uc(x, t)和ub(x, t)分别为压电约束层和基层的中面纵向位移,w(x, t)为横向位移。

　　假定阻尼层纵向位移沿厚度方向线性变化,粘弹性阻尼层的位移场可表示为

式中下标v代表阻尼层。uv(x, t)和Av(x, t)分别为阻尼层的中面轴向位移和转角。

　　考虑到分界面完美粘结,横向位移已强制相同,故阻尼层的上下表面处还应满足纵向位移连续条件,即

　　忽略各层旋转惯性和阻尼层纵向惯性,部分主动约束阻尼梁的动能可表示为

式中ΡcAc、ΡvAv和ΡbAb分别代表压电层、阻尼层和基层的质量线密度。l为梁长,x₁和x₂分别为主动约束阻尼块的左右端点坐标。