两邻边铰支两邻边夹紧正交各向异性矩形板的中等大挠度

　　近几年来,关于正交各向异性板的几何非线性问题进行了大量的探讨工作。C.Y.Chia[1]教授较为系统地对各向同性、各向异性复合材料进行过分析。Sallam[2]研究了一种特定载荷的反对称层板的非线性问题。文献[3,4]提出了板壳的线性和非线性问题较新的算法。但目前讨论较多的是四边简支或四边固定或两对边具有相同支撑的弹性转动约束边界条件。而对于两邻边铰支两邻边夹紧这种特定边界条件的大挠度问题的分析并不多见。本文作者找到了一种能够精确满足这种边界条件的梁振动函数,并充分利用其正交的优势把非线性偏微分方程组化为一组代数方程组,求出未知系数,找到问题的解。

　　1　基本理论

　　考虑一正交各向异性板,由于板厚与其横向尺寸相比较小,可利用克希霍夫基本假设,得到任意点的面内位移u,v和横向位移w与中面上的这三个分量u0,v0和w0之间的关系：

量级,这说明由梁振动函数Xm(ξ)和Yn(η)构成的级数收敛速度会很快。另外,Hi的值从第2项开始均可取为0.5。

　　表3为玻璃环氧材料的正方形板取不同的级数项时对W解的影响。由表3可见,如果载荷不大,仅考虑板的线性解时,取一项其误差小于0.3 %;当Q不断增加,需考虑非线性部分时,仅取1项是不合适的,但取9项(即m,n=1,2,3)其误差会小于0.3%。下图中的数值计算均取级数的前9项。图1为典型的载荷挠度图。上线和中线为硼环氧材料,下线为各向同性材料(ν=0.3)。从图中可以清楚地看出,硼环氧方板当w/h=0.8时其非线性程度达40 %,随着Q值增大,w/h接近1时,非线性程度会更大。计算表明,选用第一种材料,ξ=η=0.3,Q=2250时W线性值为10.63,而非线性值仅为3.762。由此可见,当板的挠度达到中等变形或大变形时,考虑板的非线性影响是非常必要的。

　　图2显示了当ξ=η=0.3时其挠度与应力的关系。从图中可清楚地看出:在小挠度情况下,弯曲应力占主导地位;随着变形的不断增加到达中等挠度时,膜应力增长很快,此时簿板的变形由弯矩和簿膜力共同承担。

　　图3和图4分别为石墨环氧方板当η=0.5时平行于x轴的直线上弯曲应力和膜应力分布情况。随着Q值不断增加,σbξ和σmξ也不断增加,并且其最大值不在板的中心,弯曲应力的最大值在边界上;而膜应力的最大值在ξ=0.8附近。

　　图5为本文的线性与非线性解同其它结果的比较情况。两条斜直线为线性解。上面的虚直线为文献[5]的结果;下面实直线为本文的结果,材料参数见文献[5]。上面三条曲线为非线性解。作者没有检索到同本文同样边界条件的几何非线性结果,图中除列出了本文的两邻边铰支两邻边夹紧(SCSC)的解之外,还列出了文献[1]的四边夹紧(CCCC)的结果和常见的四边铰支(SSSS)解,选用的参数为λ=1;E2/E1=3;G12/E1=0.5;γ21=0.25。