等截面梁纯弯曲振动的几何非线性分析

　　0　引　　言

　　梁是工程中一种常见和大量使用的结构构件,在研究梁的纯弯曲振动中通常忽略非线性因素,用线性方法进行研究。实际上的梁都是非线性的,因此有必要对梁的振动进行非线性研究。目前有关支撑处具有摩擦的梁的非线性研究在国内外已有报道[1-4]。但是关于梁几何非线性振动的研究尚未见到报道。本文试图对梁的几何非线性振动进行分析。

　　1　运动方程

　　设:梁在纯弯曲振动时,挠曲线表示为

　　并假使梁为理想弹性体,振动是微幅振动,梁的长度与截面高度之比相当大(大于10)。梁上作用有均布简谐激扰动Q(x,t) = q0cosωt。

　　根据材料力学可知,梁的挠度微分方程为

　　因为在工程问题中梁的挠度一般都远小于跨度,挠曲线是一非常平坦的曲线,转角θ也是一个非常小的角度,如图1所示。于是有

　　式中:E是弹性模量,I是截面惯量矩。

　　令:f(θ) = [1+θ2]-3/2并将f(θ)在θ=0用泰勒级数展开并取前三项得

　　又根据Galerkin法,梁的挠度y(x,t)可采用梁的基础振型函数(x)近似表示为[5]

　　式中:ρ表示梁单位长度质量,“·”表示对时间t的导数,利用(8)式和(9)式梁的弯曲势能为

　　粘滞阻尼力的虚功为

　　将以上得到的动能T,势能U及广义力Q的表示式代入拉格郎日方程得微分方程

　　用谐波平衡法解方程(15),设微分方程(15)的稳态近似解为

　　将稳态响应(16)式代入(15)式,令同阶谐波系数相等,则导出如下方程

　　由(17)式解出B和φ可得系统稳态的响应。

　　2　稳态性分析

　　设:η(t)为扰动变量

　　现在将研究方程(15)解的稳态性转化为研究方程(20)零解的稳定性。因为一般情况下有m g,m ξ,所以b,e,-e,α都为小参数。

　　由参考文献[6]推得稳定和不稳定区域以下述曲线为分界线

　　因此我们可以利用(27)式在B-ω曲线参数平面上画出周期解稳定和不稳定区域的分界线。对实际工程问题而言,分界线上周期解的稳定性并不重要,因为在工程实际中总是求系统在远离不稳定区中运动。如果系统的参量落入不稳定区域时,将发生参量共振。由于发生参量共振的区域是一个一个连续的参量区间,所以从某种意义上讲,避开参量共振比避开因受迫振动而产生的共振要困难得多。

　　3　频响特性分析

　　把(17)式中两式平方相加,得频率响应方程为

　　由于b <0,频率响应特性曲线如图2 (a)所示。从频率响应特性曲线可知,当ω从一个相对小的值开始逐渐增加,则振幅| B |沿响应曲线也逐渐增加,一直到达点1,在该点响应曲线有铅直切线,当频率继续增加时,振幅突然从点1跳到响应曲线较高分支的点2开始沿响应曲线逐渐下降。反过来,如果ω从一个相对大的值开始逐渐减小,则振幅|B|沿响应曲线逐渐增加,直到点3,在点3处响应曲线又有铅直切线,当频率继续减小时,振幅突然跳到曲线较低分支的点4上,然后从点4开始,振幅沿响应曲线逐渐下降,如图2(b)所示。