振荡流作用下的非线性板状梁结构参数共振研究

    细长薄板叠层(小间隙)结构在反应堆燃料元件结构一体化设计及相关工程中有着极大的应用价值。由于这种结构的特殊性和复杂性,其流场非常复杂,给结构的流固耦合动力分析带来了极大的困难。目前,在粘性流体诱发结构振动的研究方面多限于柱状结构。不管考虑的是定常流动还是非定常流动,而把流当作振荡流的还不多见。振荡流作用下的振动问题属于参激振动问题,文献[1]中介绍了几种这类问题的研究方法。文献[2,3]考虑自激和参数激励的联合作用,研究了振荡流U=U0(1+e cosνt)作用下的两端铰支输液管的次谐波共振和组合共振,发现材料的线性阻尼只能缩小不稳定区的大小,而不能抑制相应的振幅,并且随着平均流速U0的增加,不稳定区的范围将会增加。以板状结构作为对象的研究工作目前进行的很少。文献[4]经过理论计算和实验验证,指出在分析叠层板型元件的振动特性时,可以采用梁的力学模型。对于板状结构在振荡流作用下振动特性,研究的更少。因此,本文的研究工作具有一定的现实意义。

    1　模型的建立

　　模型为一个置于矩形管内的简支板状梁,如图1(a)所示,流体从A端流入,D端流出,进入流道前其平均流速为U₀。为简化分析,假设板的宽向刚性,梁沿z方向作平行于y的简谐振动;所采用的流体为沿x和z方向流动的二维不可压缩无粘流体。图1(b)和图1(c)分别给出了梁的截面以及支承情况(非线性弹性支承位于板梁的中点处)。

    2　运动微分方程的建立

　　假设板状梁结构受有振荡流的作用

    U = U₀(1+εcosνt) (1)

其中:ε为小量;ν为频率参数。

     当中板、顶板、底板有相同的振幅及相位时,文献[5]给出了流体动压力的表达式

    这样,板的流固耦合非线性振动微分方程为

式中:EI为板的抗弯截面模量;m为板单位长度上的质量;c₀为结构阻尼;Mc为流道内流体单位长度的质量;δ为δ-函数,K1为非线性刚度系数;h为中板、顶板、底板共同的振幅。运用Galerkin方法将方程(3)离散化,即假设

其中

当结构阻尼和刚度系数为小量时,可设:c1=εc,K2=εK3。

3　求解方程

　　使用L-P(Lindstedt-Poincare)法(即频率展开法)的约束参数法,可以确定稳定区与不稳定区的分界线

δ(ε)。而使用多尺度法不仅可以确定稳定区与不稳定区的分界线,而且还可以确定分界线邻域的情况。

因此,这里采用多尺度法来研究非线性系统的参数共振问题。考虑基本参数共振

ω=δ=ν2+εσ(8)

情况(其中σ为调谐参数),并只取一阶近似。令