任意荷载下板单元局部效应分析

    0　引　言

    目前对结构的动力分析,一般采用有限元法,即将原结构离散为有限多自由度体系,求解动力方程,算出动力响应。然而,这种传统的动力分析方法忽略了局部效应的影响,带有较大的误差。

    所谓局部效应,是由于结构连续质量之间的相互影响产生的,早在80年代由美国学者AnagnostopoulosSA[1]等人提出,但其方法有很大的局限性:一是采用振型迭加法的计算过程繁琐精度不易控制,且依赖于杆端位移、转角均被正确算出的前提;二是该方法只适用于杆系结构,对其它诸如板壳结构、板杆组合结构则无能为力。

    对此,国内学者[2-3]提出了计算结构局部效应的新概念和新方法,其基本思想是利用Anagnostopoulos SA的模型,使两端固定的杆单元基频远远大于原结构的基频(一般大于5倍),然后应用直接积分法求出局部位移及局部动内力,得到局部动内力与惯性力之间的关系,从而得到考虑局部效应的结构动力响应的精确解。基于此作者曾讨论了任意荷载下梁单元的局部效应修正问题[4],本文推导了考虑局部效应影响的板单元的动内力计算公式,并对一悬臂板进行了精确的结构动力时程分析。

    1　板单元动内力的局部效应修正

    板单元的强迫振动方程为:

式中:E为杨氏模量;μ为泊松比:D为薄板的弯曲刚度Eh³/12(1-μ²);h为板的厚度,-m为板单位面积的质量;-c为板的阻尼系数;q为板单位面积上受到的横向动扰力;W为板中面的横向挠度。

　　按照有限元法进行动力分析时,动荷载最终都是当量的作用在节点上,即板单元上是没有分布外载的,因而板单元内任一点的动力方程的为:

其中W*(x,y,t)是局部位移效应,目前在动力分析时是不考虑此项影响的;[N]为板单元形函数矩阵;{δ}为板元节点的位移列向量。

    将式(3)代入式(2),并注意到对于给定的位移模式W有

     上式反映了局部效应位移W(x,y,t)*与惯性力和阻尼力之间的内在关系。按照有限元法的基本思想,可以求得单元局部动内力列向量{R′e}为

    在一般有限元法基础上迭加式(5)修正项引起的局部内力修正项,从而获得结构动力响应下的精确解。上述公式中如果阻尼阵[C]近似等于α[M],系数α=2ξ1ω1,ξ1为第一阶阻尼比,ω1为第一阶固有频率,则局部效应修正项为

    {R′_e} = [M]{¨δ}+α[M]{.δ}           (7)

    在工程实际中,人们更关心的是单元动内力,其一般有限元计算公式为: