四边固支轴向运动板中三角级数作为模态函数的失效

　　笔者利用梁模态函数、双三角级数和多项式函数做为轴向运动状态下四边固支矩形薄板假设模态函数，计算薄板横向振动的各阶固有频率。通过数值算例，发现利用双三角级数计算得出的固有频率实部随轴向运动速度变化的曲线失去了运动连续系统特有的耦合现象。证明双三角级数只适用于分析静止状态下薄板横向振动，而在分析薄板轴向运动状态下横向振动时则不能够预测轴向速度对振动模态的非对称性的影响。

　　1 振动微分方程和边界条件

　　考虑如图1 所示的以常速v沿x轴轴向运动矩形薄板。板厚h，材料密度ρ，初始弹性模量为E，薄板x轴和y轴方向的边长分别为a和b，并x向及y向承受轴向载荷N₁和N₂。

　　建立板振动方程并引入无量纲变量及参数：

　　运动方程(1) 化成无量纲化形式：

　　取三种不同振形函数求解板振动固有频率：

　　(a) 固支梁振型函数：

　　2 轴向运动板自由振动的固有频率

　　下面我们利用上述假设模态函数讨论轴向运动板的固有频率随无量纲运动速度变化情况。

　　对于轴向运动板，由Galerkin 原理得三种模态函数对应的前两阶固有频率。图2 给出了当λ=1，K₁=K₂=50 时梁模态函数，双三角级数和多项式函数对应前两阶固有频率随轴向速度值的变化。

　　观察图3 和图 5，当无量纲速度 C=0 时 ω 为实数。随着板的无量纲速度增加，各阶固有频率随之减小。当速度增加到临界速度C₁时，第一阶固有频率为零，板发散失稳。当速度增加到临界速度C₂时，一阶模态趋于稳定，而系统又会在临界速度C₃处，第一、二阶模态发生耦合，产生耦合模态颤振。

　　观察图4，我们发现双三角级数下前两阶固有频率不存在耦合分。这是因为选取的假设模态函数为整波函数，Galerkin 方法中陀螺项的加权残数值总为零所致。所以，双三角函数所得到运动微分方程已经解耦，其固有频率实部随无量纲化速度变化的图像无法反映第一、二阶固有频率的耦合部分。

　　图5 多项式组合下ω 实部随C变化曲线

　　3 小结

　　分别选取梁模态函数，双三角级数和多项式函数做为假设模态函数分析轴向运动板的横向振动特性，发现选择双三角级数使得系统分析无法体现耦合现象。因此，此种模态函数只适用于研究静止板的振动状况而不能用来研究轴向运动板的振动。