大挠度橡胶圆板的数值解及对其Hencky解的修正

　　1　引　言

　　文中的橡胶圆板用来储存和释放应变能。橡胶材料具有粘弹性的特性,一般可用kelvin模型描述[1~3]。通过对该特种橡胶材料进行的拉伸实验,材料的拉伸模量(定伸应力)在250%延伸率范围内基本稳定,约为4.0MPa;由于储能橡胶板并非工作在高频振动的环境中,同时系统工作时橡胶板的最大局部延伸率约为180%,在该橡胶材料的近似线性区域,故假设该储能橡胶板属于线弹性体,进而应力应变分析中不再引入应变储能函数。又因圆板有效直径为2.0m,厚度为0.3m,厚度约为直径的1/7,因此可视该橡胶圆板为薄壁弹性体。

　　对于板的挠度与受载关系的研究一直是板壳理论研究的主要内容之一。Von Kármán板方程解决了一定范围内有矩圆板的有限大挠度问题。当载荷增大到一定程度,薄膜效应远远超过弯曲效应,此时板的弯曲效应可以忽略。对于薄壁橡胶圆板,由于橡胶材料的抗弯刚度相对于拉伸模量要小得多,因此对于以橡胶为材料的圆板的大挠度变形更接近于具有薄膜特性,即柔性特性。H.Hencky于1915年导出了绝对柔性圆板(圆薄膜)的大挠度级数分析解,精彩的求解过程和结果经常被诸多名家引用[4~6]。当然,从本质上来说,Hencky解建立在一定假设基础上,在挠曲度较大时,该方法本身会带来较大的误差。

　　文中利用橡胶薄膜受均压下具有均匀膨胀的特性,通过数学的方法直接获得圆板膨胀状态下的几何表达式,进而求得载荷与挠度的关系。同时,基于Hencky方法,分析该方法求解结果所带来的误差状况;基于该橡胶圆板的工程背景,提出对Hencky解校正的初步方法,并对校正后结果进行分析。文中在前面定义过、后面再次出现,但和前述有同样指代的参数和符号,再次出现时不再重复说明。

　　2　大变形橡胶圆板的薄膜直接数值解

　　2·1　橡胶圆板受压变形的几何描述

　　基于柔性薄膜假设,由于承受表面法方向的均匀分布压力,故不同大小压力下的橡胶面形状为一系列的球冠面,如图1。膨胀变形橡胶面的球心在x轴上,但不同曲率有不同的球心;设想橡胶面从平圆板状态逐渐加压,由于橡胶板处于松弛状态时球心在x轴的-∞,则曲面的球心在x轴上从-∞处起往x轴正方向移动。由于是轴对称问题,膨胀橡胶面的形状可简化为平面图来分析。

　　设a为圆板半径,根据橡胶板的实际工作状态,图1中极限膨胀状态为x轴上的最大膨胀值等于板面松弛时的半径的状态,即OD = OA = a的状态。设加压的过程足够缓慢,B是膨胀曲面上的任一点,则在收缩释能过程中它的轨迹为B→B1→B2→B3。同理,在膨胀储能过程中,B3的轨迹为B3→B2→B1→B。曲面中瞬时最大膨胀点的轨迹为D→D1→D2→O。收缩过程中瞬时球心轨迹为O→O1→O2→-∞。至此,便可得出诸如B、B1、B2、B3等处于一条轨迹线上的点的坐标关系。设B3点的y坐标为y0,w0为曲面上最大膨胀点的x坐标(即一定受载状态下的最大挠度),从而可以得出B3点在任一膨胀状态下的坐标(x,y)。根据均匀膨胀或收缩薄膜张角比例的保持性特性,通过进一步的推导,坐标(x,y)满足方程(1) ~ (4)。而变形橡胶曲面形状对应于(3)式取F(x,y)=0的方程。过膨胀曲面上点(x,y)切线与x轴夹角由(4)式确定。