板壳结构屈曲分析的非线性有限元法

　　板壳结构不仅指板件、曲壳,还包括板或壳组成的薄壁构件以及由薄壁构件组成的结构等广义板壳结构.随着计算机技术的普及和迅速发展,板壳结构屈曲分析的研究方法从古典法(能量法、瑞利-里兹法等)发展到摄动法、有限差分法、有限积分法、有限条法、有限元法等[1].有限元法不仅可以实现板壳结构的双重非线性的屈曲分析,还可以方便地计入几何缺陷、残余应力等因素的影响,并因其广泛的适应性而倍受人们的青睐.位移和转动相互独立插值的三维退化超参曲壳元可以很好地克服平板单元和传统曲壳元的缺点[2~4],因此本文选择三维退化曲壳元作为离散板壳结构的基本单元.基于TL描述方法,采用Kichhoff应力张量和Green应变张量,本文推导了可以同时考虑双重非线性的9节点三维退化曲壳元的切向刚度矩阵(具体的推导过程见文献[5]),同时提出了处理板壳结构加载边平直的罚单元法,应用弧长法和修正的牛顿法相结合的迭代策略,实现了板壳结构屈曲分析的全过程追踪.

　　1　保持加载边位移约束条件的罚单元法

　　为了保证板壳结构的屈曲节线为直线,需要结构的加载边在运动过程中始终保持平直.本文将罚单元引入加载边的位移约束条件,很好地解决了这个问题.设加载边有n个节点,建立n-1个罚单元.每个罚单元有两个节点,对应第i个罚单元,其节点编码为(i,i+1),i=1,2,…,n-1.令k1= i,k2= i-1,k1和k2的变形协调条件为

　　式中:I4为4阶单位阵; dmax为一个大数,一般取为总体刚度矩阵常规数的102~103倍[3].

　　罚单元的单元刚度矩阵可以写作

　　将Kf作为一种特殊的单元刚度矩阵叠加进总刚,进行求解,就可以实现加载边上的位移约束条件.有n个边界节点,就有n -1个Kf.

　　2　算例分析

　　2·1　柱壳的屈曲分析

　　所分析的柱壳如图1所示,E =3·1kN/mm2,μ=0·3,边界条件为两直边简支,两曲边自由.本文分别对它进行了几何非线性和双重非线性的屈曲分析,追踪到柱壳的跳跃失稳现象.并将几何非线性的分析结果与文献[6]进行了对比,如图2所示,结果吻合很好.双重非线性的分析结果如图3所示,观察图3可以发现,考虑塑性后,结构的极限承载力明显下降,考虑强化的弹塑性分析比理想弹塑性的分析,极限承载力有稍许提高.

　　2·2　具有初始挠度的方板的屈曲分析

　　如图4所示,边缘受均压作用的四边简支方板,a = b =480 mm, t =10 mm, E =2·1×106kg/cm2,ν=0·316,w0=0·1t·cos(πx/ a)sin(πy/b).本文对其进行了弹性大位移分析,计算结果见图5,其中Pb·(Et3)-1为荷载系数,(w0+wc)·t-1为板中心点的位移系数.由于初始挠度的存在,使结构在加载的开始就伴随着侧向变形,随着荷载加大,位移增加的幅度加快.结构在某一时刻的变形如图6所示.图6清楚表明,结构产生侧向屈曲,并且结构的加载边在变形过程中保持平动.