一种模态振型的直接扩阶方法

    有限元方法是进行结构静力、动力分析的重要手段。然而，该技术的应用将产生相当数量的离散单元及结点，以致模态振型的自由度数目比较庞大。而实际结构测试时只能借助有限数量的传感器获得结构的振动信息，故而通过模态参数识别技术获得的实测振型相对于有限元模型的振型而言，其在空间上的不完备问题比较突出。因此，模型缩阶与模态扩阶技术得到了广泛关注。该类技术在模型修正、损伤检测等方面也有广泛的应用[1―4]。

    Guyan[5]与 Irons[6]最早提出了模型缩阶方法。该方法将质量矩阵、刚度矩阵分别对应于主自由度、从自由度进行分解，借助分解后的刚度矩阵计算并获取传递矩阵以达到模型缩阶的目的。虽然该方法是目前最简单的方法，但该方法在很大程度上依赖于主自由度的数量与类型。更重要的是该方法只能在低阶动力特性上具有较好的精度，而对于高阶模态误差较大。为此，许多学者试图进一步提高Guyan 方法的精度。Kidder[7]、Miller[8]等人在一定程度上考虑了惯性力项的影响。Michael P 与Ephrahim G[9]提出了两个策略以提缩减模型的精度。但是，这些改进只有在主自由度选取非常合适的时候才成立。O’Callahan 亦在静态缩阶法的基础上进行了改进，提出了改进的缩阶系统(ImprovedReduced System)[10]。该方法实际上是通过加入假设的静荷载作为惯性项，在由静态缩阶法得到的转换矩阵中加入了一个修正项。系统等效缩阶扩展(SEREP)方法[11]，利用计算的特征向量构造主自由度与从自由度之间的传递矩阵。同静态缩阶方法类似，特征向量也分解为与主自由度和从自由度相对应的两部分，当主自由度数目大于振型阶数时，SEREP 的传递矩阵可应用伪逆技术计算获得。值得注意的是，SEREP 是一种精确的模型缩阶技术。也就是说，在主自由度测试信息精确的前提下，可获得结构的所有自由度的振型信息。但是，如果实测模态与有限元模态的相关性欠佳，SEREP 方法将无法应用。罚函数法[12]借助权重变量作为实测模态的相对可信判别指标，通过使模态应能最小实现模态扩阶。最近，Chen (2010)[13]提出了一种可以考虑有限元模型误差并且允许实测数据具有一定程度测试误差的振型扩阶新方法。该方法利用了质量归一化条件将实测振型表述为各有限元振型的线性组合。

    上述方法是通过求解传递矩阵实现模态振型扩阶或模型缩阶的。本文将引入一复合向量，通过对其未测试自由度的振型值进行修正而实现模态振型的直接扩阶，无需求解传递矩阵。文中将选用一个 5 自由度弹簧-质量体系验证方法的正确性；借助一平面框架结构进一步验证提出方法在低阶模态估计中的优势。