楔形变截面梁单元力学模型的研究

    1　前　言

    随着彩色压型钢板的迅速发展,轻型门式钢架结构体系因为其具有轻型、美观、快捷、高效等特点,在工业建筑中已获得了广泛的应用[1]、[2]。为了使材料的分布更合理,门式刚架结构通常采用变截面柱和变截面梁[3]。对于变截面构件,国外学者已进行了广泛的研究,但国内却对之研究较少[4~7]。目前,在通常的力学分析计算中,对变截面梁柱常采用等代分段等截面单元模型来分析[8]。这种模型由于人为增加了计算结点和计算单元数,未考虑偏心的影响,从而降低了分析计算的效率,影响了分析计算的精度,并增加了CAD难度[9]。

    本文则通过研究变截面杆件(杆件截面为工字型,截面腹板高h0值沿长度方向线性变化,其余腹板几何尺寸及上下翼缘几何尺寸均保持不变,中和轴线为两端腹板中点连线[10]),建立了一种宽度自适应的变截面梁单元(楔形单元)力学模型。

    2　单元模型的建立

    2.1　杆件假定条件[3][10~12]

    杆件符合下列假定条件:

    (1)变截面梁单元长度远大于横截面上各量,满足平截面假定;

    (2)忽略变截面梁单元的剪切变形;

    (3)变截面梁单元长度远大于横截面上各量,所以轴线可以看成连斜翼缘形成角度的角平分线;、

    (4)材料为线弹性。

    单元坐标系如图1所示,Ni、Mi、Nj、Mj分别为结点i和j上所受的轴力和弯矩。

    2.2　用结点位移表示单元的位移模式

    由材料力学可知,对于中和轴轴线上轴向位移U的位移模式可以取X的线性函数,对于挠度V则可以用三次多项式来表示:

    于是可以得到用中和轴结点位移表示的中点连线上点的位移,它的矩阵公式是:

　　根据平截面的假定,对于契形构件距原点X的截面上距轴线Y处的点有:

[N_u1]、[N_u2]、[Nv]是位移的形函数矩阵。

把结点I和J的中和轴位移用下式表示:

    {δi} = [ui　vi　θi]^T　　{δj} = [uj　vj　θj]^T

则位移模式的表达式可改写成矩阵形式为:

    2.3　推导单元刚度矩阵

    根据文献[13~15],从非线性的几何方程出发,利用总势能的驻值条件来推导单元的刚度矩阵(含几何刚度矩阵)。

    单元的正应变为:

    根据文献[13],上面表达式中高阶项可以略去不计,又因为Z是从中性轴量起的,所以

　　将上式表达的应变能同单元的外力势能相加,即可得到单元的总势能[13]:

     Π=U-{δ}^T{F} (3)

　　其中{δ}和[F]分别为单元的结点位移列向量和相应的结点力向量,利用总势能的驻值条件δΠ=0可以确定单元的刚度矩阵。