一种基于广义协调条件的八结点平板壳单元

　　0　引言

　　板壳单元的构造是一个重要的课题.目前,壳体单元主要有平板壳元,曲面壳元和超参数壳元.曲面壳元可以更好地描述壳体的形状,而且膜弯耦合在单元内加以考虑,但由于难以恰当表达刚体运动以避免剪切和膜闭锁,使得曲面壳元的构造较为困难;超参数壳元是从三维实体单元转化而来,具有较高的精度,采用减缩积分来避免剪切和膜闭锁.但其构造较为复杂,且确定单元形状时,使用了八对点的整体坐标,每双对点要求都在一条中面法线上,这使得实际计算时,数据的准备较为烦琐;平板壳元,是将平面膜单元和板单元在单元水平上直接叠加,膜弯耦合在单元局部坐标向整体坐标转换组装后实现.单元构造简单,计算方便,在工程中应用较广.

　　在构造平板壳元时,若用平面膜单元与薄板单元去组合,得到平板薄壳单元;若与厚板单元去组合,得到平板厚壳单元,在实际应用时,需区分薄壳和厚壳.若能建立一种薄壳和厚壳通用的平板壳元,则会给计算带来方便.鉴于此,本文先将八结点等参数平板单元,通过引入剪应变的广义协调条件加以改造,使其既能用于薄板,也能用于厚板;将此单元作为弯曲单元,平面Q8元作为膜单元,建立了一种新型平板壳单元.新单元构造简单,可用于厚壳,也可用于薄壳,而不产生剪切闭锁.算例表明,新单元性态良好,精度很高.

　　1　膜单元部分

　　膜单元部分采用平面Q8元.

　　2　弯曲单元部分

　　弯曲单元部分采用八结点等参数平板单元并加以改造.

　　2·1　广义协调条件

　　在局部坐标系中,八结点等参数平板单元[1]的中面挠度w、中面法线转角θx,θy表示为:

　　挠度w与剪应变γyz,γzx及中面法线转角θx,θy的协调条件为:

　　对公式(2),在单元的中面域内引入广义协调条件(积分形式的Kirchhoff约束条件)

　　2·2　单元刚度阵

　　由(3),(5)式得:

　　由常规有限元理论,可得单元刚度阵为:

　　E,G,h,μ分别为板的弹性模量,剪变模量,板厚,泊松比.

　　由系统总位能知,当板厚趋于薄板时,γyz,γzx趋于零.原单元的剪应变场较为复杂,若γyz,γzx为零,会给变形过分的限制,导致板过分刚硬,产生剪切闭锁.而新单元采用简单的线性剪应变场,当γyz,γzx趋于零时,对变形的限制较少,因此改善了计算精度.

　　4　整体坐标系中平板壳单元的单元刚度阵

　　设局部坐标系下的平板壳单元的结点位移向量为:

　　按常规方法,将平面膜单元与弯曲单元组成局部坐标系下的单元刚度阵[k].局部坐标系的x方向取结点8,4连线方向,y与x垂直且在板平面内,z与板平面垂直,坐标原点取结点8,4连线的中点,见图1.对应于θzi相关的刚度元素为零.当汇交于一结点的所有单元共面时,刚度阵会出现奇异.为避免这一困难,采用著作[3]的方法,给单元刚度阵中与θzi对应的对角元以一个较小的正数,而不必注意是否有与周围单元共面的结点,计算时这个正数取其它对角元中最小的元素乘以10^-3.