旋转斜杆内的张力

　　在人们的生产和生活实践中,广泛地使用各种机械设备,而诸多机械设备都是由彼此有相互作用的构件组成,如杆件(轴)、轮子、薄板等.这些构件在力的作用下,在运动过程中若不发生破坏,才能保证机械正常地工作.而且同一个杆件,所处的运动状态不同,或者所受的约束不同,杆件内部的受力情况也有很大的差异,而对杆件各截面处的受力情况作出分析,是选择杆件材料及尺寸的依据.下面就图一所示的旋转着的细斜杆OB,在两种不同的约束情况下,杆中张力的分布规律试作分析.

　　1　与旋转角速度之间的关系

　　设杆的质量为M,长度为L,其O端与电动机在竖直位置的轴相连,B端为自由端.当杆随电动机的轴以恒定角速度ω旋转达稳定时,杆偏离竖直位置-夹角θ,杆的各部分则在水平面内作不同半径的圆周运动.如图1所示.若选坐标原点在O点,坐标轴沿着杆长,在杆上距O点为l处选dl长的一段为研究对象.设λ为杆的线密度,在转动参照系(非惯性系)中看,dl段受张力T和T’、重力dG=λgdl和惯性离心力df =λω2sinθdl处于平衡.四个力中,对O点产生力矩的力只有重力和惯性离心力.

　　设杆的长度不变,λ为恒量,则重力对O点的力矩大小为,惯性离心力对O点的力矩大小为

　　由力矩平衡条件可得

　　在(1)式中,应有则有θ=0°,即就是由于角速度太小使得惯性离心力太小,杆不能离开平衡位置作旋转运动.同时,由上面的分析还可以看出,当B端变成非自由端时,与的关系仍满足(1)式.

　　2　B端为自由端时斜杆内的张力

　　在图1所示的杆中,仍取转动参照系.段处于平衡时沿杆长方向所受合力应为零,即

　　令dT = T’- T.这样以来,杆中张力的长度变化率则为

　　(2)式中的负号表示,随着的增加张力减小.在此,如果假设杆在转动过程中长度不变,线密度为常量,积分上式可得

　　积分常数C可由特殊点张力的值来确定.由于l = L(B端)为自由端,而l =0(O端)是固定端,由弹性力学[1]可知,对于B端应有T(L) =0,代入(3)式中可得积分常数

　　再将C代回(3)式中可得,杆中张力的变化规律为

　　显然,T(l)的l变化关系曲线为抛物线.因为0≤l≤L,所以,(4)式始终为正,说明杆中各部分受到的是拉力,而且在的横截面处(O端),所受拉力最大.所以,最易破坏的是O端.

　　3　两端固定的斜杆中的张力

　　上面在计算杆中的张力时,曾假设杆的长度及线密度都与静止时相同,这实际上是要求将杆的两端都连接到传动的部件上,使得B端也变成非自由端,从而可保持杆的长度不变.在这种情况下,虽然杆的总长度和总质量保持不变,即平均线密度不变.但由于杆中各部分的受力不为零,使得各部分的长度或线密度将发生相应的变化.受拉处,杆变长,线密度减小;受压处,杆缩短,线密度增加.且张力愈大,线密度的变化也就愈大.所以,杆的线密度是张力的函数.故就图1所示的以角速度ω旋转的两端都固定的斜杆,为了便于讨论,我们假设杆的质量为M,静止时的长度为L0,线密度为λ0,当杆转动达稳定后,距O点为l处杆的线密度为λ,λ应是l处的张力T(l)的函数,即