均匀化方法中等效弹性模量的计算

　　1　均匀化方法

　　在宏观某一位置A处可认为是由微结构元在空间中周期性重复堆积而成(如图1所示),宏观上结构的性能参数是微结构的平均值.微结元的尺度相对于结构的宏观几何尺度来讲是很小的量,设为ε(0<ε 1)量级,因此结构的非均质性是细观层次的.但是在某点的微结构元尺度邻域内,这种微结构的几何构形的变化可以认为是极其微小的.由于非均质性的存在,在体积力f和面积力t作用下的应力和位移在宏观位置A的非常小的邻域内也有很大的变化.所有的量均依赖于宏观和细观两种尺度坐标x和y=x/ε,也即如果gε(x)表示物体内的位移或应力等物理量,则有gε(x)=g(x,x/ε).由于材料细观结构的周期性特征,这些量对细观坐标y=x/ε的依赖关系也具有周期性,即g(x,y)=g(x,,y+Y), Y表示周期函数的周期.具有上述性质的函数称为Y-周期性函数.此时,任意函数对x的微分表示为

　　2　有限元计算

　　为便于编写程序,将张量形式的式(14)改写为矩阵形式.为此要将式(14)的各张量写成紧缩形式,双指标ij写为单指标α,这样来定义各张量所对应的矩阵或向量[E]3×3和[χ]2×3.这些矩阵的各元素为所对应张量的分量,对应关系可由单双指标的对应关系确定: (1,2,3) (11,22,12).

　　定义微分算子矩阵

　　将微结构元剖分成n个三角形单元.定义在微结构元上的未知函数χ和任意函数v可由各离散单元上相应函数组合而成.一单元内的函数

　　3　算例分析

　　在柔顺机构的设计及结构的拓扑优化中,某处微结构的几何尺寸确定了该处的等效弹性模量,在给定的外界条件下,也就给定了该处的位移和应力.这样,结构的拓扑优化问题就转化为确定空间各点处的等效弹性模量.为此确定等效弹性模量与微结构几何尺寸间的函数关系就是关键所在.因没有解析解,只能用数值解.为确定等效弹性模量与微结构元中方孔尺寸的连续函数关系,要计算一系列方孔尺寸所对应的等效弹性模量的值,用多项式插值的方法获得其他的值,最后拟合得出函数关系.以具有对称方孔的单位正方形微结构为例(这样可利用对称性和周期性条件,可只对微结构元的1/4进行计算,计算简单).计算了等效弹性模量与方孔尺寸间的函数关系.如图2所示,τ为微结构密度.结果与M.P.Bendsoe等人给出的结果是一致的.

　　参考文献

　　[1] Bendsor M P, Kikuchi N. Generating Optimal Topolo-gies in Structural Design Using a HomogenizationMethod. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering. 1989, 71: 197~224

　　[2] Kikuchi N, Nishiwaki S. Design Optimization Methodfor Compliant Mechanisms and Material Microstructure.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer-ing, 1998, 151: 401~417