薄板弹塑性分析的有限梁元法

　　用有限单元法分析薄板,是公认的可靠方法.但当边界条件很复杂时,却很难得到精确解.另外,有限元法的成功应用,还取决于形函数的选择,不同的形函数将导致不同的分析收敛性.为了克服有限元法的上述缺陷,我们将有限元法的单元,用沿其周边的梁单元来代替,即用网格栅代替整个有限元风格,把矩形单元变成了梁单元.由于梁的形函数简单、准确,使所有单元的刚度矩阵变成统一的一种梁单元的单元刚度矩阵,可以用现成的刚架结构程序来进行分析.

　　用由梁单元组成的格栅来模拟一个连续体,主要的问题是如何模拟泊松比的影响.为此,必须使所有方向上的弯曲特性互相耦联,即要使格栅在所有方向上的变形产生与板的弯曲引起的相同的曲率.现考虑一四边形薄板单元,如图1所示.沿单元四周用四根互相垂直的其主轴在单元平面内的互相刚接的梁来模拟.当梁1-2产生出平面的弯矩而产生弯曲,其两端将产生出平面的转角θy1和θy2,同时还发生平面内的转角θz1,θz2.与梁1 - 2垂直且刚接的梁1 - 3和梁2 - 4也将在结点1和2产生同样的转角θz1,θz2.这些转角又将使梁1-3和梁2-4产生出平面弯曲,引起抗裂面作用.不同的梁与单元平面的倾角W表明了薄板的泊松比的影响.

　　1　梁元截面的刚度计算

　　对于小变形薄板,当有限元的单元划分得足够细时,可以假定单元周边的弯矩分布是均匀的.现考察如图2所示的一个厚度为t的矩形单元,其尺寸是a×ηa.单元的1 - 2和1 - 3边分布弯矩与位移的关系为:

　　同理,

　　现用如图2(b)所示的沿单元四周的四根相互刚接于1,2,3,4结点的梁来模拟图2(a)的单元.作用于单元上的外荷载和力矩可用能量等效原理来简化这四根梁的作用.由于假定各梁元仅在结点处相连,故可用与有限元相同的方法将力集中于结点处.根据薄板单元上分布弯矩沿其周边均匀分布的假定,梁元上1端的集中弯矩应为:

　　结点1的弯矩与变形的关系为:

　　1)x方向的梁元:

　　2)y方向的梁元:

式中,E为弹性模量;ρx,ρy分别为薄板中面的曲率半径或其等效的梁元在xz,yz平面上的曲率半径;ρxz,ρyz分别表示x和y方向梁元在xy平面上的曲率半径;Iz,Iz′分别为x、y方向梁元的截面惯性矩;Iyz,Ixz′分别为x,y梁元的截面惯性积.

　　由于x,y方向的梁元在结点处刚接,它们将在结点处产生平面内的转角.作为平均值,我们假定,.由结点1在平面内的平衡条件,并由式(5)和(6)有

　　因此,由式(4),(5),(7)得:

　　将位移的微分式代入,则式(8)和(9)可写为

　　令薄板单元与梁元具有相同的微分方程,则式(1),(11)应等价于式(1),(2),因此有: